Mathe: Vollständige Induktion?
Hallo,
ich bearbeite gerade folgende Aufgabe:
Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die folgenden Teilbarkeitsaussagen für alle natürlichen Zahlen n gelten: b) 7 teilt (2^(3n)+13)
Ich verstehe in den Lösungen nicht, was in der Zeile, die ich markiert habe, gemacht wurde, um in die nächste zu kommen.
Kannst du es mir bitte erklären?
Danke!
3 Antworten
Hallo,
für den Beweis darfst Du die Induktionsvoraussetzung benutzen.
Diese lautet, daß der Term 2^(3n)+13 für jedes n aus der Menge der natürlichen Zahlen eine Zahl ergibt, die durch 7 teilbar ist. Der Induktionsanfang ist leicht gezeigt, indem für n die kleinste natürliche Zahl, also 1 eingesetzt wird:
2^(3*1)+13=8+13=21 und 21 ist durch 7 teilbar.
Auch wenn man die 0 zu den natürlichen Zahlen zählt und diese für n einsetzt, gilt die Behauptung: 2^(3*0)+13=1+13=14 und 14 ist durch 7 teilbar.
Wenn der Ausdruck 2^(3n)+13 eine durch 7 teilbare Zahl darstellt wie behauptet, läßt sich diese genausogut durch ein beliebiges Vielfaches von 7 darstellen, also als 7k, wobei k irgendeine natürliche Zahl ist.
Es gilt also: 2^(3n)+13=7k und somit 13=7k-2^(3n).
Nun soll ja gezeigt werden, daß - wenn die Behauptung wahr ist - sie dann auch für jeden Nachfolger von n und damit letztlich für alle n gilt.
Zu zeigen ist also, daß auch 2^(3*(n+1))+13 durch 7 teilbar ist.
Da die 13 das Gleiche ist wie 2^(3n)-7k, kann die Behauptung für n+1 auch so dargestellt werden, indem die 13 ersetzt wird:
2^(3n+3)+7k-2^(3n) ist durch 7 teilbar.
Das kann man etwas umstellen zu 2^(3n+3)-2^(3n)+7k.
Nun 2^(3n) ausklammern:
2^(3n)*(2^3-1)+7k
und zusammenfassen zu
2^(3n)*7+7k.
Nun kann man die 7 ausklammern:
7*(2^(3n)+k).
Da n und k natürliche Zahlen sind, ist auch der Ausdruck 2^(3n)+k eine natürliche Zahl, womit der Ausdruck 7*(2^(3n)+k) ein Vielfaches von 7 ist und damit durch 7 teilbar.
Genau dies sollte aber gezeigt werden.
Herzliche Grüße,
Willy
Also zunächst wurde die Induktionsvoraussetzung benutzt, um 13 durch 7k-2^(3n) auszutauschen. Warum das erlaubt ist, wird in den drei Textzeilen darüber erklärt.
Dann wird -2^(3n) und 7k vertauscht.
Das verstehe ich, aber wohin verschwindet das 2^(3(n+1)) von der linken Seite?
Links bleibt es stehen... links steht ja gerade Term, für den wir rechts (vom Gleichheitszeichen) zeigen, dass es ein Vielfaches von Sieben ist.
Rechts fasst man die Terme nur so zusammen, dass man ablesen kann, dass es ein Vielfaches von Sieben ist... Distributivgesetz, Potenzgesetze und weitere Rechengesetze müssen sitzen für sowas.
Die Induktionsvoraussetzung sagt: "7 teilt (2^(3n) + 13)" oder in anderen Worten "7 ist ein Teiler von "(2^(3n) + 13)". Das heißt aber: Es existiert ein k aus der Menge der natürlichen Zahlen mit
oder
Und die 13 wird durch die linke Seite oben ersetzt.
Und was passiert mit den beiden 2^(3(n+1))?