beweis modulo mathe lineare algebra?
ich brauche hilfe bei einer mathe aufgabe:
Sei n ∈ N+. Beweise x^n ≡ x (mod x^2 − x)
3 Antworten
x^n = x (mod x^2 - x)
ist gleichbedeutend mit
(x^2 - x) | (x^n - x)
Beweis durch vollständige Induktion über n:
Für n = 1 ist die Sache klar.
Es gelte (x^2 - x) | (x^n - x)
Zu zeigen ist (x^2 - x) | (x^(n+1) - x)
Nun ist x^(n+1) - x = x * (x^n - x) + (x^2 - x)
Es gilt (x^n - x) | (x^2 - x)
Damit ist auch x * (x^n - x) + (x^2 - x) durch (x^2 - x) teilbar, was zu beweisen war.
Es kommt immer drauf an, was man schon alles verwenden kann.
Ich würde so daran gehen: 0 und 1 sind Nullstellen des Polynoms x^n - x. Also lässt sich das Polynom durch x-0 und x-1 und daher auch durch x² - x teilen. Das reicht dann schon, denn dann ist x^n - x = 0 modulo x²-x.
Schreib (für n>1) das als
x^n - x ≡ 0 (mod x^2 − x), und weiter
x(x^(n-1) - 1) ≡ 0 (mod x(x−1)).
Offensichtlich reicht zu zeigen, dass
(x^(n-1) - 1) ≡ 0 (mod (x−1)).
Das sollte man hinkriegen, Stichwort geometrische Summe.