Für jede Menge gibt es einen freien Vektorraum, beweis?
Hallo,
Ich bin ziemlich verzweifelt an der folgenden Aufgabe, die wir im 2. Semester in Linearer Algebra bekommen haben.
Konkret verstehe ich von Grundauf nicht, was ein Freier Vektorraum ist, dazu habe ich auch im Internet nichts gefunden.
Aber zum anderen wüsste ich auch nicht, wie ich die Aufgabe lösen soll.
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!
Mithilfe der Tipps durch die Hilfestellungen habe ich jetzt folgenden Beweis zur Existenz und Linearität:
Erneute Validierung:
Beweis mit Eindeutigkeit bis auf Isomorphie:
Die Ergänzung mit der Eindeutigkeit bis auf Isomorphie:
Ergänzung Eindeutigkeitsbeweis:
Ergänzung Eindeutigkeitsbeweis:
1 Antwort
Eine Definition ist ja angegeben. Das ist zwar nicht die anschaulichste, aber gibt die universelle Eigenschaft von frei wieder. Die Definition ist für Vektorräume aber eigentlich gar keine. Denn jeder Vektorraum hat eine Basis und eine lineare Abbildung ist eindeutig durch die Bilder der Basisvektoren bestimmt. Daher heißt frei einfach nur, dass der Vektorraum eine Basis besitzt. Das ist immer korrekt. Daher findest du dazu wenig im Internet. Erst für Moduln wird die Definition interessant. Ein R-Modul ist wie ein Vektorraum nur, dass wir den Körper durch einen Ring tauschen.
Zu der Aufgabe. Ein Tipp steht ja schon da. Betrachte die direkte Summe von K über I. Das sind Tupel, die nur endlich viele Einträge ungleich 0 aufweisen. Als Beispiel sind die e_i enthalten. Bei diesen sind alle Komponenten 0 außer die Komponente i, welche 1 ist. Diese kannst du für die Konstruktion von alpha verwenden. Anschließend musst du noch die universelle Eigenschaft überprüfen. Aber versuche erst einmal selbst voranzukommen.
Ok, danke für die Hilfe! Ich werde es mal selber probieren, ich melde mich dann nochmal!
Die Idee stimmt. Alle Vektorräume können auch unendlich dimensional sein, daher musst du diese Annahmen rausnehmen. Sie wird aber auch nicht benötigt. Problematisch ist eher das Beta. Du darfst es nicht einfach definieren, sondern musst es als gegeben voraussetzen. Es ist also wie W beliebig. Konstruieren muss man die lineare Abbildung Phi und begründen warum diese eindeutig ist. Um diese zu konstruieren, verwendest du, dass eine lineare Abbildung eindeutig durch die Basisvektoren bestimmt ist und die e_i eine Basis von F(I) sind. Auf was diese geschickt werden müssen ist genau die zu erfüllende Bedingung.
Was ebenfalls noch gezeigt, werden muss ist, dass jeder andere Vektorraum mit dieser Eigenschaft zu F(I) isomorph ist. Dazu kann aber eben jene Eigenschaft verwendet werden, um zwei zueinander inverse lineare Abbildung zu bilden.
Ok, muss ich aber e_i als Basis von V angeben oder ist e_i nur eine Basis von F(I)? Von welchem Raum ist F(I) genau der Unterraum? Wenn die Wirkung der basisvektoren eindeutig bestimmt ist, und die Abbildung Phi von F(I) nach W geht, ist dann die Eindeutigkeit bewiesen? Dann müsste ich nur noch zeigen, dass es eine gibt, wie mache ich das?
Ok, muss ich aber e_i als Basis von V angeben oder ist e_i nur eine Basis von F(I)?
Da F(I) in dem Beweis die Rolle von V einnimmt macht es keinen Unterschied. Also V=F(I) im Beweis.
Von welchem Raum ist F(I) genau der Unterraum?
Dem kartesischen Produkt von F über I, also alle Tupel egal ob nur endlich viele Einträge ungleich 0 sind.
Wenn die Wirkung der basisvektoren eindeutig bestimmt ist, und die Abbildung Phi von F(I) nach W geht, ist dann die Eindeutigkeit bewiesen?
Die Eindeutigkeit von ϕ schon.
Dann müsste ich nur noch zeigen, dass es eine gibt, wie mache ich das?
Nimm einfach an es gibt ein W und β:I-->W. Wir wollen ϕ mit β=ϕoα. Da die α(i) eine Basis sind, reicht es ϕ auf den α(i) zu definieren. Also müssen wir nun nur ϕ(α(i)) definieren. Wie das funktioniert sollte aber wegen β=ϕoα klar sein.
Ich habe die Existenz und linearität nun bewiesen (konnte leider keine erneute Antwort erstellen, daher versuche ich es in der Frage zu ergänzen), nun bin ich mir bei der Eindeutigkeit von Phi noch unsicher insbesondere deshalb, weil unser Dozent in der Vorlesung meinte, die Eindeutigkeit verläuft immer nach gleichem Schema?
Wie gesagt, wenn die Bilder der Basisvektoren α(i) bekannt sind, gibt es nur eine lineare Abbildung, die das erfüllt. Da die Bilder von α(i) aber durch β=ϕoα bestimmt ist, folgt die Eindeutigkeit.
Danke, für deine große Hilfeleistung!!
Könntest du mir nur noch kurz sagen, ob mein Beweis, ausgenommen die Eindeutigkeit, denn ich oben zur Frage hochgeladen habe, korrekt ist?
Du verwendest einmal, dass ϕ linear wegen der universellen Eigenschaft sein muss. Diese musst du aber gerade zeigen. Du machst dir auch zu viel Arbeit. Setze einfach ϕ(α(i))=β(i), wie du es getan hast. Dann definierst du ϕ einfach als die eindeutige lineare Abbildung mit dieser Eigenschaft. Ich würde aber noch anmerken, dass die α(i) bzw. die e_i eine Basis bilden. Ich weiß nämlich nicht, ob euch das bereits bekannt ist.
Ok, ich habe es oben in meiner Frage ergänzt. Habe ich nun einen vollsätndigen Beweis?
Ja dieser Beweis stimmt nun. Was aber noch fehlt ist, dass F(I) eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus ist. Dazu nehmen wir an, dass (W,β) ein weiterer Vektorraum ist, der die selbe Eigenschaft erfüllt. Zu zeigen ist nun, dass es einen eindeutigen Isomorphismus F(I)--->W gibt. Der Beweis funktioniert wie jeder Beweis der sich um universelle Eigenschaften dreht. Mittels der uni. Eig. wollen wir zwei eindeutige Abbildungen konstruieren, die invers zu einander sein müssen, erneut wegen der Eindeutigkeit.
So richtig vertsanden habe ich das leider immer noch nicht, insbesondere nicht, warm wir zeigen müssen, dass die beiden Konstruktionen isomorph sind. Aber ich habe nochmal den Beweis oben ergänzt.
Ist er nun vollständig gemäß der Aufgabenstellung ausgeführt?
Vielen Dank für deine Hilfe!
Das ist ein Teil der Aufgabe.
Nein der Beweis ist nicht korrekt. β ist nicht frei wählbar. Was du nutzen musst ist, dass du für zwei solche Tupel mit der universellen Eigenschaft durch direkte Anwendung der Eigenschaft Abbildungen f,g in beide Richtungen erhälst. Dass die beiden invers sind sieht man wie folgt: Durch Wahl der Abbildungen gilt:
β=foα
α=goβ
Einsetzen liefert nun beispielsweise:
α=gofoα
Nun musst du den Eindeutigkeitsteil der uni. Eig. verwenden um zu sehen, dass gof die Identität ist. Die andere Richtung ist analog.
Ist mein Beweis nun vollständig und korrekt, den ich in der Frage ergänzt habe?
Ja, bis auf einen Punkt. Dass ϕoϕ' die Identität ist, folgt nicht durch Umformung. Dazu müsste man zeigen, dass Gamma injektiv ist. Hier muss erneut die universelle Eigenschaft verwendet werden. Denn sowohl ϕoϕ' als auch die Identität sind lineare Abbildungen f von V nach V mit γ=foγ. Wegen der uni. Eig. gibt es aber genau eine solche Abbildung. Also muss f=id=ϕoϕ' gelten.
Ich habe es ergänzt, so richtig/vollständig? Vielen Dank für deine sehr hilfreiche Unterstützung!!!
Du hast glaube ich noch nicht ganz verstanden, was ich meine. Du sollst nicht die Injektivität beweisen, sondern die universelle Eigenschaft nutzen. Die linearen Abbidlungen ϕoϕ' und id gehen beide von V nach V und erfüllen beide γ=idoγ und γ=ϕoϕ'oγ. Daher folgt aus der Eindeutigkeit in der uni. Eig. bereits id= ϕoϕ'.
Ja, dass ist so ein wenig mein Problem. Ich habe es jetzt oben nochmals ergänzt, ich habe das jetzt eingebaut und hoffe es ist jetzt richtig.
Etwas anders formuliert. Der letzte Teil des Beweis braucht keine Basen mehr, das heißt du kannst dir Argumente mit Basen sparen. Im Grunde kannst du das Argument aus meinem letzten Kommentar 1:1 übernehmen. Was wir hier nutzen ist, dass das ϕ aus der Angabe eindeutig ist. Da nun aber sowohl ϕoϕ' als auch id, γ=idoγ und γ=ϕoϕ'oγ erfüllen, müssen beide bereits gleich sein. Denn ansonsten würde es ja zwei verschiedene lineare Abbildungen geben, was der Eindeutigkeit widerspricht. Lies dir einfach nochmal genau durch, was die uni. Eig. aussagt. Dann setze im Gedanken einfach β=γ und für ϕ einmal id und einmal ϕoϕ' ein. Die Gleichung stimmt in beiden Fällen, also müssen die zwei Abbildungen schon gleich sein.
Danke! Ich habe den Teil mit den Basen rausgenommen. Verstehe ich das richtig, dass wir zum Schluss gezeigt haben, dass die Gleichung einen eindeutigen isomorphismus hat, das heißt die Inversen Bildung? Also das der Teil "bis auf eindeutige Isomorphie" bei der Behauptung "Eindeutig bis auf eindeutige Isomorphie "ist? Da wir die Eindeutigkeit von Phi ja schon gezgit haben.
Noch als Anmerkung. Universelle Eigenschaften gibt es viele. Das schwierige ist eigentlich immer die Frage, ob Objekte existieren, die diese erfüllen. Falls sie aber existieren, so sind sie immer eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus. Der Beweis dazu läuft wie der Beweis hier ab. Für zwei Objekte, die sie erfüllen, erhalten wir durch den Existenzteil der universellen Eigenschaft zwei Abbildungen. Diese sind wegen des Eindeutigkeitsteils bereits Inverse.
Ist das von dir so gemeint, wie ich das auf dem Screenshot umgesetzt habe?