Bergmannsche Regel?
Ich verstehe nicht ganz alles an der Regel.
Warum haben größere Tiere im Verhältnis zu ihrem Körpervolumen weniger Körperoberfläche? Sis sind doch größer also haben sie sich auch mehr Oberfläche....
5 Antworten
Die Bergmannsche Regel ist eine allometrische Beziehung. Es geht nicht um die absolute Zunahme von Körpervolumen und Körperoberfläche, sondern darum, dass sich mit zunehmender Körpergröße das Verhältnis zueinander verändert, also um die relative Zunahme. Dahinter steckt ganz einfache Mathematik.
Die (Ober)fläche nimmt mit zweiter Potenz zu (Länge x Breite). Beim Volumen kommt ja noch eine dritte Dimension hinzu, das Volumen steigt deshalb mit dritter Potenz (Länge x Breite x Höhe). Mit zunehmender Größe nimmt das Volumen also schneller zu als die Fläche und das Verhältnis wird damit immer mehr in Richtung des Volumens verschoben.
Ein Beispiel:
Stell dir einen Würfel vor. Wir fangen zunächst ganz klein an mit einer Kantenlänge von 1 cm. Das Volumen berechnet sich bekanntlich nach:
V = Länge x Breite x Höhe.
Bei einer Kantenlänge von 1 cm sind das:
V = 1 cm x 1 cm x 1 cm = 1 cm³.
Ein Würfel hat sechs Flächen, deshalb berechnet sich seine Oberfläche nach der Formel:
A = 6 x Länge x Breite.
Bei Kantenlänge von 1 cm heißt das:
A = 6 x 1 cm x 1 cm = 6 cm².
Wir berechnen nun das Verhältnis zueinander, also den Volumen-Oberfläche-Quotienten (VAQ):
VAQ = V : O.
Bei unserem Würfel sind das:
VAQ = 1 : 6 = 0.167 cm³/cm².
Der Quotient ist kleiner als 1. Das heißt, dass bei einem Würfel mit Kantenlänge 1 cm die Oberfläche im Verhältnis größer als das Volumen ist. Auf 1 cm² kommen 0.167 cm³.
Jetzt verdoppeln wir die Kantenlänge auf 2 cm. Ich erspare mir jetzt die Rechenwege und liste die einzelnen Ergebnisse auf:
V = 8 cm³
A = 24 cm²
VAQ ≈ 0.33 cm³/cm².
Du siehst, dass der Quotient größer geworden ist, sich also etwas zugunsten des Volumens verschoben hat.
Wir rechnen weiter mit 3 cm, 4 cm und 5 cm Kantenlänge und stellen fest, dass VAQ immer weiter in Richtung des Volumens verschoben wird. Bei einer Kantenlänge von 6 cm wird VAQ = 1.0, d. h. im Verhältnis sind Volumen und Oberfläche gleich groß. Auf 1 cm² kommt also 1 cm³. Nimmt die Kantenlänge ab hier noch weiter zu, wird VAQ größer als eins, d. h. das Volumen wird im Verhältnis größer als die Oberfläche. Bei 7 cm sind das z. B. :
V = 343 cm³
A = 294 cm²
VAQ ≈ 1.17 cm³/cm².
Was hat das mit der Bergmannschen Regel zu tun?
Ganz einfach: wie wir gesehen haben, wird die Körperoberfläche mit zunehmender Körpergröße im Verhältnis zum Volumen des Körpers immer kleiner und damit eben die Fläche, über die dem Körper durch Wärmestrahlung Wärme verloren geht. Ein großer Körper hat im Verhältnis zu seinem Volumen also weniger Oberfläche, über die er Wärme verlieren kann, als ein kleiner Körper.
Das kann man auch ganz leicht experimentell in der Küche untersuchen. Man braucht dafür:
- 2 annähernd kugelförmige Kartoffeln unterschiedlicher Größe
- 2 Küchenthermometer
- 1 Topf
- Herd
- Wasser
Die Kartoffeln werden zusammen mit dem Wasser im Topf gar gekocht. Dann kommen sie gleichzeitig aus dem Kochwasser. Mit den Thermometern wird 10 min. lang jede Minute die Temperatur gemessen und aufgeschrieben. Du wirst sehen, dass die kleine Kartoffel schneller kalt wird als die große.
Nimm zur Vereinfachung an, das Tier hätte einen Würfelförmigen Körper mit Kantenlänge a.
Das Volumen ist a³
Die Oberfläche ist 6*a²
Oberfläche/Volumen : 6*a²/a³ = 6/a
Du siehst also: je größer a (also der Würfel) desto kleiner wird 6/a, das Verhältnis
Die Regel spricht vom "Verhältnis von Körpervolumen zu Körperoberfläche" und nicht von der absoluten Oberfläche.
Das Verhältnis von Körpervolumen und Körperoberfläche beispielsweise einer Kugel zu ist
Vergrößerst sich der Radius um den Faktor 2 wird auch das Verhältnis der beiden Größen um den Faktor 2 größer.
Ich vermute, das eigentliche Problem in Deinem Verständnis ist eher die Frage, warum eine höhere "innen liegende" Masse trotz höherer Wärmeabstrahlung über die größere Oberfläche insgesamt aber energetisch günstiger für den Wärmehaushalt sein soll.
Sis sind doch größer also haben sie sich auch mehr Oberfläche...
Ja. Aber das Volumen vergrößert sich schneller als die Oberfläche (das eine r³ und das andere r²).
Bei einer Verdoppelung des Volumens bekommst du weniger als eine Verdoppelung der Oberfläche. Und deshalb wird das Verhältnis aus Oberfläche und Volumen immer kleiner.
Immer dran denken, dass ein Verhältnis was anderes ist als absolute Größen!
Das stimmt nicht. Größere Tiere haben mehr Körperoberfläche, also mehr Volumen. Sie können also mehr Wärme produzieren, als sie verlieren.
Aber ja, sie haben mehr Volumen im Gegensatz zur Oberfläche, aber das ist doch logisch. Wenn du eine riesen 10km Kugel hast, ist das Volumen innen doch wesentlich größer, als die Haut der Kugel.
Das Volumen ist im Gegensatz zur Oberfläche bei einer Verdopplung der Größe, dreifach gestiegen.
Das ist die Bergmannsche Regel.