Sagen wir mal so: Viele Menschen benutzen Aluminium-Folie, um Lebensmittel zuzubereiten oder sie zu konservieren. Das ist in den meisten Fällen auch vollkommen unbedenklich.

Jedoch können stark saure oder basische Substanzen das Aluminium herauslösen und somit Aluminiumpartikel in die Lebensmittel oder eben den Wasserdampf übergehen lassen.

Da der selbstgebaute Alu-Deckel keinen direkten Kontakt zum Wasser hat, würde ich das Risiko einer übermäßigen Aluminium-Aufnahme eher gering einschätzen, unter der Voraussetzung, dass der Shisha-Tabak überhaupt solche o.g. Substanzen enthält.

Damals in der Schule habe ich in den allermeisten Fällen mir die Sachen am Abend vorher angeschaut, und dann oft auch bis Mitternacht (oder später) gelernt.

Ob das ne gute Strategie ist?
Defiti... definitiv nein. Aber es hat meistens für ne 3 oder besser gereicht.

Im Studium sieht das natürlich komplett anders aus.

b)

Wir suchen den x-Wert x*, an der die angelegte Tangente einen Winkel von 3° zur x-Achse hat. Diese Tangentensteigung ergibt sich aus der ersten Ableitung der Funktion f.

Um vom Winkel zur Steigung zu kommen kann man folgendermaßen vorgehen:

Der Tangens eines Winkels alpha in einem rechtwinkligen Dreieck gibt genau das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete an. Das rechtwinklige Dreieck wird hierbei aus der Tangente (Hypotenuse) und der x-Achse (Ankathete) konstruiert. Werten wir die Funktion f an unserem gesuchten Wert x* aus, dann erhalten wir die Länge der Gegenkathete.



Wir können nun also den vorgegebenen Winkel (im Bogenmaß) einsetzen und dieses Verhältnis (= die Steigung) erhalten:



Diese Steigung wird jetzt mit der ersten Ableitung der Funktion f gleichgesetzt und nach x aufgelöst (mithilfe von ln()).

Wir erhalten x* = 66,963

Jetzt muss die Funktion f so verschoben (um den Wert b) werden, dass sie am Punkt x* gleich 0 ist.

D.h. wir setzen sie zu Null:

0 = f(x*) + b

=> b = - f(x*) = - f(66,963) = -2,62

Integralfunktionen müssen immer eine Nullstelle haben. Diese ergibt sich aus der unteren Intervallgrenze beim Aufstellen der Integralfunktion.

(Ich vermute mal, dass U (bzw. u) für die untere Intervallgrenze bei der Integralfunktion steht.)



Wenn wir bspw. damit den Flächeninhalt von u bis t=u (also Anfangspunkt = Endpunkt) berechnen wollen, muss dabei ja Null herauskommen:

Ju(t=u) = F(t=u) - F(u)

= Ju(u) = F(u) - F(u) = 0

In Mathe geht es größtenteils nur um Übung. Wenn du also gute Übungsmaterialien parat hast, dann ran an die Buletten. Das schwierigste an der Sache ist meist das Anfangen.

Wenn man Pi als 3 nähert, dann entsprechen 90° (=pi/2) etwa 1,5 rad.

Somit entspricht 1 rad etwa 60°.

Der genaue Wert von sin(60°) lässt sich aus der Wertetabelle ablesen:





Die Genauigkeit sollte für einfache graphische Skizzen ausreichen.

Am besten die Vorlesung verlassen, draußen auslachen und wieder reinkommen wenn ihr euch eingekriegt habt.

Solche Leute stören nicht nur die Professoren sondern auch andere Studenten, die tatsächlich der Vorlesung folgen möchten.

Einen Merksatz hab ich jetzt leider nicht parat. Eigentlich ist das sehr intuitiv, wenn man verstanden hat, wie Funktionen funktionieren. Vielleicht hilft folgendes fürs Verständnis:



Angenommen der Vorfaktor ist a = 1 und wir werten die Funktion bei x = 2 aus.
Damit ist f(2) = 4.

Jetzt verkleinern wir den Vorfaktor, sagen wir a = 1/10. Um jetzt die 4 zu erreichen muss der Ausdruck x² viel größer werden als vorher (bei a=1), genau genomen 10 Mal so groß. Das bedeutet wir müssen viel größere x-Werte einsetzen (also viel weiter nach rechts und links wandern), um am Ende den Funktionswert von 4 zu erhalten. In diesem konkreten Fall müssen wir x=sqrt(40) ≈ 6,325 setzen, damit 4 herauskommt.



Das heißt, der Funktionsgraph wird in die Breite gezogen, also gestaucht.

Wenn der Vorfaktor negativ ist, dann ist die Parabel nach unten geöffnet. Ist er echt positiv, dann ist sie nach oben geöffnet.

Das E steht für die Exponentialschreibweise von Dezimalzahlen. Meist wird sie für besonders große oder besonders kleine Zahlen verwendet. Manchmal wird dafür auch ein kleines e benutzt.

Man kann sich das E auch vorstellen wie eine Exponentialfunktion:



Das schreibt aber keiner so, weil E(x) häufig eine andere Bedeutung hat (Erwartungswert in der Statistik).

Auch die e-Funktion (also die eulersche/natürliche) ist eine Exponentialfunktion, aber eben zur Basis der Eulerschen Zahl und nicht zur Basis 10.

An jede Ecke den Pfeil anlegen, genau die Richtung beibehalten (ggf. Kästchen zählen) und dann an der Pfeilspitze den Punkt einzeichnen.

Die Punkte verbindest du dann so miteinander, dass sie wieder das Sechseck ergeben.

Der Verlauf des Graphen lässt sich im Intervall sehr gut als Gerade nähern. Dieser Geradenabschnitt bildet die Hypotenuse eines gedachten rechtwinkligen Dreiecks.

Der Flächeninhalt des Dreiecks lässt sich sehr leicht im Kopf ausrechnen, wenn man für f(1) = 2,5 und für f(2) = 0,5 annimmt. Dazu muss noch der Flächeninhalt des darunterliegenden Rechtecks addiert werden. Dies hat eine Höhe von 0,5 und eine Breite von 1.

Um diese oben genannte Gerade durch eine Funktionsgleichung zu beschreiben, kann man die Punktsteigungsform nutzen. Dazu sucht man sich zwei Punkte (P1, P2) auf dem Graphen, durch die man die Gerade ziehen will

P1 = (x1 | y1) = (1 | f(1))
P2 = (x2 | y2) = (2 | f(2))

und rechnet somit die Steigung m der allgemeinen Geradengleichung (y = mx+b) aus:



Um jetzt noch b zu berechnen, sucht man sich einen Punkt auf der zu konstruierenden Gerade aus (am einfachsten P1 oder P2), setzt diesen in die allgemeine Geradengleichung ein...

y2 = m*x2 + b

... und löst die Gleichung nach b auf.

Dann wird die Funktionsdefinition für g noch mal sauber mit dem gefundenen m und b aufgeschrieben:

g(x) = m*x + b

(Da die Aufgabe keine Funktion verlangt, bei der m ≠ 0 sein muss, kannst du dir das Leben auch einfacher machen und g als konstante Funktion angeben, so wie es in der Antwort von @Rhenane steht.)

Ist die Bogenlänge L des Funktionsgraphen der nach unten geöffneten Parabel im gesuchten Abschnitt bekannt, so lässt es sich leicht berechnen, wenn wir annehmen, dass das Gebäude aus folgenden Flächen besteht:

• einer Grundfläche mit den Seitenlängen a und b (G = a*b)
• zwei Seitenflächen mit dem (nach unten geöffneten) parabelförmigen Querschnitt und der maximalen Seitenlänge a (lässt sich einfach per Integration bestimmen)
• einem Dach, dessen Flächeninhalt D aus der Bogenlänge L und der anderen Seite der Grundfläche besteht (D = L*b)

Ist die Bogenlänge nicht bekannt, sondern nur eine Funktionsdefinition vorhanden, so kann sie über ein Linienintegral (auch: Kurven-/Wegintegral) berechnet werden.

Die Bogenlänge lässt sich auch grafisch nähern, indem man in kleinen Intervallen Punkte auf dem Graphen einzeichnet, diese miteinander verbindet und ihre Länge ausmisst, oder per Pythagoras berechnet. Je nach Anzahl der Punkte (sprich: Genauigkeit) wird das mit Stift und Papier sehr mühsam.

Das Integral für die Weglänge macht aber eigentlich nichts anderes, nur eben für unendliche kleine Intervalle:

Die Weglänge L mit dem Weg X wird dann so berechnet:



Nicht ganz. Die Einheit ist nur eine der Achsen, nämlich die Temperatur. Wichtig ist dabei das 1/b als Vorfaktor. Da wir nach t integrieren ist das Intervall 0 bis b ein Zeitabschnitt. So wird aus Temp*Zeit/Zeit = Temp

Der Sachzusammenhang ist, dass hier der Mittelwert über alle Temperaturen von 0 bis zum Zeitpunkt b berechnet wird.

Vielleicht wird es anschaulicher, wenn man sich die Näherung des Integrals mithilfe der Säulen-/Kästchenmethode vorstellt. Oft wird die graphische Lösung des Integrals/Flächeninhalts im Unterricht als Einführung in Integralrechnung behandelt, bevor man zum analytischen Teil übergeht.

Man stellt sich nun vor, es gäbe nur diskrete Zeitschritte (Minute 1, Minute 2,...), und keine kontinuierlich verlaufende Zeit. Zu diesen einzelnen Zeitschritten wird jeweils die Temperatur gemessen. Die Temperatur-Werte zwischen zwei Zeitschritten sei nicht definiert. Am Ende lassen sich alle gemessenen Temperaturen aufsummieren und durch die Anzahl der Zeitschritte (Messpunkte) teilen, woraus sich ein Mittelwert ergibt.

Um von dieser Betrachtung zum (exakten) Integral überzugehen, muss man nur die Zeitschritte unendlich klein wählen. Damit spannen die Rechtecke der Kästchenmethode keinen Flächeninhalt mehr auf.

Eigentlich müssen hier nur die Potenzgesetze angewandt werden:

Erstmal alles, was doppelt ist ausklammern:



Jetzt versuche mal den Wurzel-Ausdruck in ein Produkt umzuschreiben. Das Rechnen mit rationalen Potenzen machts vielleicht ein bisschen anschaulicher, also x^(1/2) anstatt sqrt(x).



Man muss hier einen allgemeinen Ausdruck für die Länge der linken Kathete finden. Wie du siehst, setzt sie sich zusammen aus den 45 m und x.

Dann setzt man ihn mit den bekannten Werten in die passende Formel des zweiten Strahlensatzes ein und löst die Gleichung nach x auf.

Nachdem der Bereich mit dem Auswahlwerkzeug (Zauberstab, Rechteck, etc.) ausgewählt wurde, kann per Rechtsklick -> "Ebene durch Kopieren" eine neue Ebene mit genau diesem Ausschnitt erzeugt werden.

Öffne dir am besten die Ebenen-Übersicht (Ansicht -> Ebenen), damit du siehst, was passiert.

Dann lässt sich mit dem Verschieben-Werkzeug (Shortcut: V) die Ebene im Bild verschieben und auch in ein anderes geöffnetes Bild übertragen, in dem du sie mit der Maus auf den anderen Tab (also das andere Bild) ziehst, kurz wartest bis das andere Bild geöffnet wird, und dann die Maus loslässt.

Ich hoffe mal, dass diese Schritte anwendbar sind, und sich Photoshop über die Jahre nicht allzu stark gewandelt hat (ich nutze noch eine ältere Version).

Der erste Teil der Funktionsdefinition gibt die Definitionsmenge und die Zielmenge/Bildmenge an.

Die Definitionsmenge ist hier das kartesische Produkt aus zwei gleichen Mengen, die jeweils alle echt positiven reellen Zahlen enthalten.
Die Bildmenge enthält hier die gesamten reellen Zahlen.

Furchtbare Schreibweise, mMn... Vielleicht wird es so klarer:



Aussprechen würde man das folgendermaßen:
"Die Funktion f bildet ab von R+ kreuz R+ in die reellen Zahlen,
x und y wird abgebildet auf ln(xy)."

Es wurden beide Seiten mit 1/(1-t) potenziert.

Die linke Seite löst sich dann zu x^1.



Hat beides so seine nervigen Aspekte.

Bei Windows 11 finde ich insbesondere das Einstellungsmenu noch bescheuerter als bei Win10. Es fühlt sich insgesamt immer noch so unvollständig und unfertig an.

Andererseits läuft Windows 11 auf meinem Laptop deutlich ressourcenschonender (in Bezug auf den Akku) und die modernisierte Benutzeroberfläche ist auch ganz nett. Obwohl die Abstriche, die man dabei machen muss und die halbherzig hingerotzten Funktionen die Freude daran schon fast wieder niederschmettern.

Hab aber auch nur Windows 11 installiert, weil ich ohnehin meinen Rechner neu aufgesetzt habe. Ein Update von Win10 auf 11 lohnt sich mMn nicht, und ist die Zeit und den Aufwand überhaupt nicht wert.

Das sind Knoten. Die dicken Punkte sollen kennzeichnen, dass die Drähte miteinander verbunden sind. Manche Schaltungen enthalten auch Drähte, die sich (bildlich) überlappen, aber nicht miteinander verbunden sind. Diese Stellen werden von den Grafikprogrammen dann meist durch eine Wölbung des Drahts über dem darunterliegenden Draht gezeichnet.

In händischen Zeichnungen einfacher Schaltungen werden sie auch gerne weggelassen.