y < 0 dann gilt -y > 0?
Hallo, ich habe folgende Aufgabenstellung:
y < 0 dann gilt -y > 0
Mir ist klar, dass wenn y kleiner als 0 ist und ich dieses einsetze, -(-y) erhalte und das größer als 0 ist.
Ich verstehe leider die folgende Lösung nicht:
y < 0 <--> y + (-y) < -y <--> 0 < -y
Es wird angegeben, dass auf beiden Seiten -y addiert wird.
3 Antworten
Ja, das ist so richtig.
Du kannst zu einer Ungleichung genauso wie zu einer Gleichung Terme addieren oder abziehen, das verändert die Gültigkeit der Ungleichung nicht. Du verschiebst dadurch nur die Werte auf dem Zahlenstrahl.
(Anders ist es bei der Multiplikation mit Termen, da musst du dir immer überlegen, ob die Negativ oder Positiv sind)
Du sollst zeigen:
y < 0 -> -y > 0.
Du darfst also annehmen, dass y < 0 auch tatsächlich gilt.
y < 0
Jetzt gibt es die Körperaxiome, die besagen: Für alle y in R existiert ein -y in R, so dass y+(-y)=0. Außerdem gilt: Man darf bei Ungleichungen äquivalent addieren. Das zu zeigen ist nicht schwer.
z.z. a<b -> a+c<b+c
Ein Axiom besagt meines Wissens:
a<b <-> 0<b-a, also
auch
0<b-a+0, beziehungsweise
0<b-a+(c+(-c))
0<(b+c)-a-c <-> 0<(b+c)-(a+c), also a+c<b+c.
Es gilt also insbesondere:
y < 0 <-> y + (-y) < 0 + (-y)
0 < -y was zu zeigen war.
Ja, das ist korrekt. Wenn y<0 ist, dann bedeutet das, dass y eine negative Zahl ist. Wenn wir das Vorzeichen von y umkehren, indem wir −y nehmen, erhalten wir eine positive Zahl, da das Vorzeichen umgekehrt wird. Daher ist −y>0, wenn y<0 ist.
