Wie skizziere ich mehrdimensionale Integration?
Anbei das Bild der Aufgabe.
Wie genau muss ich bei der Skizze vorgehen? Ich dachte mir, dass ich zwei horizontale Geraden bei den Werten 4 und 25 einzeichne.
x^2y^2 stellt eine Kreisfunktion dar. Wie muss ich diese einzeichnen ? Und dazu kommt das y größer gleich 0.
Dazu: Welche Vorgehensweise ist bei teilaufgabe b zu beachten?
3 Antworten
Du musst das Integral über den halben Kreisring 4 <= x^2 + y^2 = r^2 <= 25 mit y > 0 berechnen. Die zu integrierende Funktion f(x, y) = x^4 + 2 x^2 y^2 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 = (r^2)^2 = r^4 ist rotationssymmetrisch, es empfiehlt sich daher ein Übergang zu Polarkoordinaten. Dabei sind dann die Integrationsgrenzen 2 <= r <= 5 für den Radius und für den Polarwinkel phi wegen y >= 0 gleichzeitig 0 <= phi <= pi zu wählen.
Das Ergebnis der Integration kann als das Volumen interpretiert werden, das von der Fläche f(x, y), der x-y-Ebene und der Innen- und Aussenseite des halben Kreisringes eingegrenzt wird…
Bei a) musst du den halben Kreisring einzeichnen.
Das Integral bei b) könnte man berechnen, indem man das Integral über dem Halbkreis mit Radius zwei vom Integral über dem Halbkreis mit Radius fünf abzieht. Ein Flächenintegral kann man berechnen, indem man innen nach der einen Variable und außen nach der anderen Variable integriert, wobei die Integrationsgrenzen des inneren Integrals von der Integrationsvariable des äußeren Integrals abhängen.
Du musst nicht die Fläche, sondern das Integral berechnen, und zwar über dem halben Kreisring, also großer Halbreis minus kleiner Halbkreis.
Unter einem Donut stelle ich mir eher ein 3D-Objekt vor, aber ja, ein Kreisring ist ein platter Donut.
Was wären dann die jeweiligen Grenzen für die Integrale? Ich habe ja zwei Integralreichen und integriere erst die eine und dann die andere. Die Reihenfolge ist egal nach Fubini, nicht wahr?
Die Reihenfolge ist grundsätzlich egal. Meist ist eine Reihenfolge leichter, aber die Funktion hier ist symmetrisch. Dass y ≥ 0 macht vielleicht einen kleinen Unterschied.
In dem Fall würde für den äußeren Halbkreis x von -5 nach 5 gehen. Für die innere obere Grenze muss x² + y² ≤ 25 nach y aufgelöst werden. Die untere Grenze ist 0.
Analog der innere Halbkreis.
Warum denn -5 als Grenze? Ich dachte der Kreis sei abgeschnitten und daher sei dieser Teil nicht von Bedeutung.
Der Kreis ist nur für y abgeschnitten, nicht aber für x.
Also x geht von -5 bis 5 und y geht von 0 bis Wurzel(25 - x²).
Ist das Integral dann nicht 0? Weil die Funktion symmetrisch ist und die Flächen sich aufhaben? Zur Skizze noch: Der Kreis ist horizontal durchtrennt und es existiert nur die obere Häflte. Ist das richtig?
Die Flächen heben sich nicht auf. Durch die geraden Potenzen ist die Funktion nicht negativ. Von den Kreisen existiert nur die obere Hälfte.
R ist ja ein Kreisring mit Innenradius 2 und Außenradius 5. Also zeichnest du diese beiden Kreise, beachtest y>=0 und dann hast du dein R
Wie kommst du auf 2 & 5? Weil man die Wurzel zieht? Warum tut man das? Wie beachte ich y>=0? Alles y werte müssen größer gleich 0 sein? Wird der Kreis dann ggf. abgeschnitten
Wurzel um den Betrag des Vektors zu haben. Der Kreis wird abgeschnitten, genau.
Danke sehr! Zum Integral: Da bin ich mir noch nicht ganz sicher was ich berechnen soll. Vom Halbkreis soll ich das Integral berechnen, jedoch ohne den inneren Halbkreis? Sollte ich daher den inneren Halbkreis vom großen Halbkreis abziehen?
Danke sehr. bei b) welche Fläche muss berechnet werden? Nur die innere Fläche des Halbkreises? Also wie bei einem Donut sozusagen, dass man ein Loch in der Mitte hat. Soll ich dann nur den Flächeninhalt des "Donuts" berechnen?