Wie löst man die Aufgabe (Mathe, Würfel, Trigonometrie)?
Es geht um die Aufgabe 19 a (2)
Ich weiß gar nicht wie ich mir das bildlich vorstellen soll und wie man das löst. Mit der a (1) komme ich besser zurecht.
2 Antworten
Die Raumdiagonale eines Quaders hat die Länge d = wurzel(a^2 + b^2 + c^2), beim Würfel folglich d = wurzel(3a^2) = a * wurzel(3).
Die Raumdiagonalen im Würfel liegen auf einem Rechteck der Breite AB = a und der Länge BC. AB ist die Kante des Würfels, BC ist die Diagonale einer Würfelseitenfläche.
Gesucht ist der Winkel BMC. Es ist jedoch einfacher, zunächst den Winkel AMB (im folgenden gamma) zu berechnen. Im rechtwinkeligen Dreieck MGB gilt folgendes
MB * sin(gamma/2) = GB
Daraus folgt:
gamma = 2 * arcsin( GB/MB )
Wegen
GB = a/2
MB = d/2 = a/2 * wurzel(3)
folgt gamma = 2 * arcsin( 1/wurzel(3) ) ~ 70.53 Grad
Wie zu erwarten ist der Winkel unabhängig von der Kantenlänge a.
Aus gamma ergibt sich der gesuchte Winkel
BMC = (360 - 2*gamma)*1/2 ~ 109.47 Grad.
Behandle das Dreieck aus einer Grundseite und den beiden Schenkeln, die zum Mittelpunkt des Würfels führen als gleichschenkliges Dreieck. Damit kommst du weiter.