Wie löse ich diese Komplexe Gleichung?
Hallo an alle hoffentlich schlauen Menschen,
ich verstehe nicht wieso ich das Phi in der Eulerform ohne das Vorzeichen schreiben darf, dafür aber -isin. In der nächsten markierten Zeile annulieren sich ja somit -isin und +isin, dass nur noch 2xcos(pi) bleibt. Wohin verschwindet aber die 3 als Vorfaktor vom Pi?????
Ich denke auch, dass bei der Musterlösung bei Phi1 das -arccos vergessen wurde. Sonst würde ja nie -pi/3 raus kommen. z2 ist ja eigentlich nur z1 konjugiert. Ich hoffe mir kann jemand helfen, wäre mega. Sitze in der Bib und mir raucht der Kopf. 😭
2 Antworten
Fangen wir oben an: Der arccos von 1/2 ist tatsächlich Pi/3. Da ist nichts vergessen worden. Winkelangaben in der Mathematik sind in der Regel nicht in Grad, sondern in rad, und da sind 360° 2Pi, Pi/3 sind also 60°.
Im Folgenden werden einfach die Formel für sin und cos benutzt:
sin (-x) = - sin(x)
und
cos (-x) = cos(x)
Warum das gilt, solltest du dir am Einheitskreis einmal deutlich machen.
In der Klammer hättest du zunächst stehen:
cos(-3𝜋)+i sin(-3𝜋) + cos(3𝜋)+i sin(3𝜋)
Aber dann wendest du eben die obigen Regeln an und kommst so zu
cos(3𝜋) - i sin(3𝜋) + cos(3𝜋) + i sin(3𝜋)
Es passiert also nix beim Wechsel der Schreibweise, sondern danach werden die Regeln für die trigonometrischen Funkionen verwendet.
Ah, und cosinus und sinus sind beide periodisch mit der Periode 2𝜋.
d. h. es gilt immer cos(x)=cos(x+2k𝜋) und sin(x) = sin(x+2k𝜋). Du kannst also bei beiden Funktionen immer beliebig oft 2𝜋 auf die Eingabewerte dazu addieren oder abziehen.
Ah. Okay. Das meinst du. Du hast recht, das ist ein wenig schlampig aufgeschrieben, würde ich auch sagen .
Wie gesagt, cos(-x) = cos(x). D. h. der Cosinus ist nicht injektiv, man muss bei der Bestimmung der Umkehrfunktion also Entscheidungen treffen, welches Urbild man benutzt. Standardmäßig wird der arccos definiert als Abbildung von [-1,1] -> [0,𝜋].
Das ist ein bisschen so wie beim Wurzelziehen: Die Abbildung "Wurzel von" ist eindeutig definiert, die Wurzel von 4 ist 2 (weil als Ergebnis des Wurzelziehens immer die positive Zahl rauskommt). Die Gleichung x² = 4 hat aber trotzdem die Lösungen +2 und -2, allgemein gilt also x² = a hat die Lösungen +Wurzel(a) und -Wurzel(a).
So ist das hier auch, ein bisschen schlampig aufgeschrieben, weil ja, man könnte auch gleich - arccos(1/2) schreiben, das wäre sauberer. Die Antwort desjenigen, der die Lösung aufgeschrieben hat, wäre vermutlich: Ja, stimmt, ist hier aber egal.
LG H.
Vielen Dank schonmal!!
Worauf ich aber bei der sache mir dem arccos hinaus wollte ist:
Bei den beiden Vertikal markierten Gleichungen habe ich einmal:
phi2 = arccos 1/2 = pi/3
und
phi1 = arccos 1/2 = -pi/3 (<— Warum ist da plötzlich ein Minus davor obwohl es ja eigentlich der selbe Term ist?)
Meiner logik nach müsste es ja für -pi/3 heißen: -arccos 1/2 oder?