sin, cos, tan von Gamma?
Hi :) Ich komme mit diesen 'Formeln' nicht klar, bzw. verwechsle ich sie ständig. Deshalb möchte ich mir jetzt alle aufschreiben. Sin, cos, tan von Alpha & Beta habe ich schon (zb: sin Alpha= a/c, sin Beta= b/c, usw...)
Danke <3
7 Antworten
Die Frage ist sehr unpräzise gestellt von dir. Daher kann ich nur raten, was du meinst und gehe mal von üblichen Bezeichnungen aus. Ich vermute, du meinst ein rechtwinkliges Dreieck mit den Ecken A, B und C. Die Innenwinkel lauten alpha am Punkt A, beta am Punkt B und gamma am Punkt C. Gamma ist ein rechter Winkel. Die Seiten heißen wie die Gegenüberliegenden Punkte, also gegenüber von A ist a, Gegenüber von B ist b und Gegenüber von C ist c. Also a und b sind Katheten und c die Hypotenuse.
Dann hast du schon richtig erkannt, wie die Winkelfunktionen bezogen auf alpha und beta sind. Von Gamma kann man das aber nicht sagen. Denn die Bezeichnung "Gegenkathete" gibt es da nicht. Wenn man so will, gibt es bei Gamma nur zwei Ankatheten. Aber du weißt ja, daß gamma 90° sind. Und sin90° ist 1, cos90° ist 0 und tan90° gibt es nicht.
Meiner Meinung nach ist es am einfachsten, das Bild des Einheitskreises zu verinnerlichen (ich stelle mir immer einen Winkel von etwa 30° vor):
Sinus und Kosinus sind im Inneren des Kreises, Sinus ist senkrecht, Kosinus ist waggrecht.
Tangens ist außerhalb des Kreises (er tangiert ihn) und ist senkrecht.
Mit diesem Bild im Kopf kann ich mir alle Beziehungen sofort herleiten.
Angenommen, du hast ein Dreieck mit den Seiten a, b und c und einem rechten Winkel γ gegenüber von c.
Dann gilt:
sin α = a/c
cos α = b/c
tan α = a/b
sin β = b/c
cos β = a/c
tan β = b/a
Für den rechten Winkel γ können keine Verhältnisse aufgestellt werden, da die Gegenkathete zu γ der Hypotenuse im Dreieck entspräche.
Dies gilt aber nur in diesem Dreieck mit diesen Beschriftungen.
Allgemein gilt:
Gegenkathete zu α
sin α = ——————————
Hypotenuse
Ankathete zu α
cos α = ————————
Hypotenuse
Gegenkathete zu α
tan α = ——————————
Ankathete zu α
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.
LG Willibergi
Mit Gamma kannst du die ähnlich formulieren, vorausgesetzt du bist in einem rechtwinkligem Dreieck. Allgemein gilt ja:
sin(Winkel) = Gegenkathete/Hypo.
cos(Winkel) = Ankathete/Hypo.
tan(Winkel) = Gegenk./Ank.
Das gilt für alle Winkel.
Ach da habe ich nicht nachgedacht :D
Ja das ist für Gamma nicht ganz möglich, da Gamma = 90°.
Die Frage nach Gamma erübrigt sich also.
Beachte dass diese Formeln nur im rechtwinkligen Dreieck gelten. Solltest du nicht im rechtwinkligen Dreieck sein, musst du den Sinussatz oder Cosinussatz benutzen.
tan von alpha ist a/b vorausgesetzt, dass a die Seite ist, die gegenüber dem Winkel Alpha
tan von Beta ist b/a, vorausgesetzt, dass b die Seite ist, die gegenüber dem Winkel beta liegt.
Ich versteh das nicht so ganz; wenn man sin Gamma rausbekommen möchte, muss man ja Gegenkathete/ Hypotenuse rechnen, aber die Gegenkathete ist ja 'c' aber auch die Hypotenuse