Wie kann man die funktionsgleichung einer solchen Parabel modellieren ?
Ich versteh nicht wie das geht wenn der Scheitelpunkt nicht entlang der y Achse ist :(
5 Antworten
Der Scheitelpunkt einer Parabel ist immer genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Hier soll die Höhe einer Halle gezeichnet werden, die von x=0 bis x=40 geht, also ist der Scheitelpunkt bei x=(40-0)/2=20.
Ja und was ist wenn es keine Nullstellen gibt ? Wie bekomme ich die Gleichung der Form
f(x)=ax^2 +bx +c ?
Es kommt natürlich immer auch auf die Aufgabenstellung an, wie man an das Aufstellen der Funktionsgleichung rangeht.
Du brauchst entweder drei Punkte der Parabel oder einen Punkt plus Scheitelpunkt.
Hier kennst Du u. a. den Scheitelpunkt S(20|10)...:
Die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform lautet:
f(x)=a(x-d)²+e; der Scheitelpunkt ist bei S(d|e)
Setzt Du jetzt den Scheitelpunkt ein, erhältst Du:
f(x)=a(x-20)²+10
Setzt Du jetzt einen der ebenso bekannten (Null-)Punkte ein, dann kannst Du a ausrechnen:
S(0|0) => 0=a(0-20)²+10 => 0=400a+10 => a=-1/40
=> f(x)=-1/40(x-20)²+10
Das kannst Du jetzt noch in die Normalform bringen...
Ich bin jetzt auf
f(x) =-1/40(x-20)^2 +10 gekommen
Kann ich einfach die Klammern normal lösen ?
richtig, war was langsam :)
Das kannst Du jetzt in die Normalform bringen, d. h. Klammer auflösen.
Mit binom ergibt es
f(x) =-1/40 x^2 -40x +410
Das sieht aber echt nicht gesund aus
Du hast Dich beim Lösen der Klammer vertan (Du musst jeden Wert mit -1/40 multiplizieren):
f(x)=-1/40(x-20)²+10 |binom. Formel anwenden
f(x)=-1/40(x²-40x+400)+10 |Klammer auflösen
f(x)=-1/40x²+x-10+10
f(x)=-1/40x²+x
Das dx hat eher eine "historische Daseinsberechtigung", zumindest kenne ich keine konkretere Bedeutung (habs auch gerade mal gesuchmaschient):
https://de.wikipedia.org/wiki/Infinitesimalzahl
Evtl. könnte man das dx als "delta von x" ansehen, wobei dieses x "unendlich klein" wird. Wenn Du an die Anfangsstunden der Integralrechnung zurückdenkst: Da fing der Lehrer sicher an, Rechtecke zu zeichnen, um die Fläche unter einem Graphen zu ermitteln; je mehr Rechtecke (also je kleiner der Abstand (delta) zweier x-Werte), desto genauer wird die Berechnung der Fläche...
Oh aber die stammfunktion ist nicht gleich die Flächeninhaltsfunktion
Die Stammfunktion dient sehr wohl dazu Flächen zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse zu ermitteln (immer in den Grenzen von Nullstelle zu Nullstelle)...
(ich habe ja nicht geschrieben dass die Stammfunktion gleichzusetzen ist mit "Flächeninhaltsfunktion", nur dass man das Integral zur Ermittlung der Fläche unter einem Graphen heranzieht)
Sie dienen nur soweit ich weiß dem selben Zweck
Nur bei einer positiven Funktion heißt es Flächeninhaltsfunktion wenn auch noch die untere Grenze 0 gilt
Kan man überhaupt gezielt hinter der y Achse integrieren ?
Also 0>x ? In meinem Mathe Buch ist kein einziges Beispiel da ?
Du kannst zwischen allen möglichen Grenzen integrieren; in der Regel geht es wohl um Flächeninhalte, und da ist es wichtig, von Nullstelle zu Nullstelle zu integrieren, weil Flächen unterhalb der x-Achse werden von der Gesamtfläche abgezogen, weil unter der x-Achse negative Werte auftreten.
In Deinem Parabelbeispiel kannst Du z. B. ohne weiteres die Fläche vom Scheitelpunkt (x=10) bis zur 2. Nullstelle (x=40) berechnen, indem Du das Integral von f(x) in den Grenzen von 20 bis 40 ausrechnest, also F(40)-F(20).
Ich versteh nicht wie das geht wenn der Scheitelpunkt nicht entlang der y Achse ist :(
Ob der Scheitelpunkt jetzt auf der x-Achse, auf der y-Achse oder ganz woanders ist, ist doch völlig egal, lass dich davon nicht verwirren!
Du kannst ja aus dem Schaubild schon einiges ablesen:
- Nullstellen bei x = 0 und x = 40
- Scheitelpunkt bei (20 | 10)
- Öffnungsfaktor negativ (Parabel nach unten geöffnet)
Und eigentlich reichen uns schon die ersten beiden Punkte, um eine Funktionsgleichung aufstellen zu können - am einfachsten machen wir das mit der Scheitelpunktform:
f(x) = a(x - d)² + e
Wir setzen den Scheitelpunkt (20 | 10) ein:
f(x) = a(x - 20)² + 10
Jetzt haben wir noch ein Sorgenkind und zwar den Koeffizient a, den wir aber durch Einsetzen eines Punktes - in dem Falle einer Nullstelle - einfach berechnen können.
Einsetzen von (40 | 0):
0 = a(40 - 20)² + 10
0 = a * 20² + 10
0 = 400a + 10
-10 = 400a
a = -10/400 = -1/40
Also gilt:
f(x) = -1/40 * (x - 20)² + 10
Und das ist die gesuchte Funktionsgleichung, du könntest noch ausmultiplizieren, um die Normalform zu erhalten:
f(x) = ... = -1/40 * x² + 1x
Ansonsten sind wir fertig. :)
Bei Fragen einfach fragen. :-)
LG Willibergi
Ich verstehe nicht, wie das geht, wenn der Scheitelpunkt nicht entlang der y-Achse ist.
Das soll kein Problem sein. Der Graph einer beliebigen Funktion f(x) verschiebt sich horizontal um Δx, wenn man in ihrem Argument x durch x–Δx ersetzt, denn
g(x) := f(x–Δx)
nimmt dieselben Funktionswerte wie f(x) sn, aber für jeweils um Δx größere x- Werte.
Das gilt natürlich auch für quadratische Funktionen, und so hat der Graph von (x – 1)² seinen Scheitelpunkt erst bei x=1.
Vertikal verschiebt man den Graphen durch Addition einer Konstanten Δy, ebenfalls für eine beliebige Funktion f(x).
Durch Vorfaktoren kannst Du eine Funktion horizontal oder vertikal skalieren und mit einem Minuszeichen spiegeln.
Natürlich musst Du acht geben, in welcher Reihenfolge Du was tust.
In Deinem Beispiel sind Δx und Δy positiv und der Vorfaktor negativ, denn der Scheitelpunkt ist ja der höchste Punkt.
Parabel Scheitelpunktform y=f(x)=a*(x-xs)²+ys
aus der zeichnung die Scheitelkoordinaten ablesen xs=20 und ys=10
eingesetzt f(x)=a*(x-20)²+10 mit x=0 und y=f(0)=0
0=a*(-20)²+10 ergibt a=-10/(-20)²=-0,025 eingesetzt
y=f(x)=-0,025*(x-20)²+10
Probe : x=20 ergibt f(20)=-0,025*0+10=10 oder x=0 f(0)=-0,025*(-20)²+10=0
stimmt also
Es gibt Formeln für Scheitelpunkte und Nullstellen von Parabeln.
Dann hast Du die Werte aus der Aufgabe, die Du einsetzen kannst.
Kannst du das malm vormachen?