Wie kann man die fehlende Koordinate eines Vektors berechnen mit einem Winkel?
Aufgabe:Der Winkel zwischen den Vektoren A und B ist alpha. Bestimmen Sie fehlende Koordinate.
Vektor a:(0/1/0), Vektor b:(0/1/b), alpha:45 Grad
Leider kann ich die Vektoren hier nicht untereinander schreiben, deshalb schreibe ich sie nebeneinander.
Gleichung aufstellen:
cos (45)= (Vektor a (0/1/0)* Vektor b(0/1/b)) / √1^2 * √1^2+b^2
Vereinfacht:
cos (45)= (1+0b) / √1^2 * √1^2+b^2
Danach nach „b“ umformen. Jedoch weiß ich ab diesem Punkt nicht weiter. Und b löst sich beim Zähler auf da es ja mal 0 benommen wird. Das irritiert mich sehr.
Ist die Rechenweise richtig, oder gibt es sogar eine einfache Weise?
Kann jemand mir die Lösung mit der Rechenweise schreiben? Am besten wie genau wie möglich, sodass ich es nachvollziehen kann.
Danke im Voraus.
5 Antworten
cos(45) = √2/2 = 1/√2
1 hast du schon im Zähler stehen, d.h 1^2+b^2 muss gleich 2 sein, d.h. b^2 muss gleich 1 sein und demnach ist b entweder = -1 oder = 1.
Hallo,
cos (45)=1/√(1+b²)
√(1+b²)=1/cos (45)
Jetzt beide Seiten quadrieren:
1+b²=1/cos²(45)
b²=1/cos²(45)-1=1
b=±1
Herzliche Grüße,
Willy
deine Rechnung ist soweit richtig. Was hast du?, na,
cos(45) auf der einen Seite des " = ", und auf der anderen Seite einen Bruch. Den Zähler vereinfachen wir zu " 1 ". Und den Nenner zu Wurzel(1 + b^2). Und nun teilen wir die Gleichung durch " cos(45) " und multiplizieren mit dem Nenner, das gibt dann
Wurzel(1 + b^2) = 1 / cos(45). Quadrieren hiervon gibt
1 + b^2 = 1 / cos(45)^2 und dann subtrahieren wir " 1 " und ziehen die Wurzel, also
b = Wurzel(1 / cos(45)^2 - 1) und das gibt
b = 1. Fertig.
genau - das Quadrieren entfernt die Wurzel auf der linken Seite, und ermöglicht dann die weitere Berechnung.
Winkel zwischen 2 Vektoren ist cos(a)=a*b/((a)*(b))
a*b=ax*bx+ay*by+az*bz=0*0+1*1+0*b=1
(a)=Wurzel(ax^2+ay^2+az^2)=Wurzel(0^2+1^1+0^2)=Wurzel(1)=1
(b)=Wurzel(bx^2+by^2+bz^2)=Wurzel(0^2+1^2+b^2)=Wurzel(1^2+b^2)
eingesetzt cos(a)=1/(1*Wurzel(1+b^2)
Wurzel(1+b^2)=1/(1*cos(a) quadrieren
1+b^2=1/(cos(a))^2
b=Wurzel(1/cos(a))^2-1)=Wurzel(1/(cos(45°))^2-1)=Wurzel(1)=1
b=1
Prüfe auf Rechen- u. Tippfehler. und mach die Probe.
*Aufgabe:Der Winkel zwischen den Vektoren A und B ist alpha. Bestimmen Sie fehlende Koordinate.
"Wurzel(1 + b^2) = 1 / cos(45). Quadrieren hiervon gibt"
Weshalb muss man quadrieren? Um die Wurzel "entfernten"?