Wie groß ist in dieser Aufgabe der Effektivwert?

Hallo zusammen,

ich bin grad an dieser scheinbar simple Aufgabe dran:

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Der gleichgerichtete Mittelwert eines sinusförmigen Signals beträgt Uggm = 61.9 V. Wie groß ist der Effektivwert Ueff des Signals?

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Ueff = 68.753613 V ist als Lösung bereits bekannt, jedoch fehlt mir der nötige Rechenschritt um auf dieses ergebnis zu kommen.

Ich dachte erst an Wurzel 2 * Uggm aber das stimmt nicht. Vorab danke für jegliche Hilfe.

Answer 1

[AMG38]

Mit Wurzel(2) ermittelst du den Scheitelwert ausgehend vom Effektivwert.

Für die korrekte Lösung der Aufgabe musst du die Beschreibung der Größen verstehen. Der gleichgerichtete Mittelwertist übrigens ein andere Name für den Gleichrichtwert.

Den erhältst du, wenn du den Betrag des Sinussignal über eine vollständige Periodendauer integrierst, und dann durch die Periodendauer teilst.

Ein sinusförmige Wechselspannung hat die Form:

$u\left(t\right)=u_{spitze}\cdot\sin\left(\omega t\right)$

Der Gleichrichtwert:

$\left|\overline{u}\right|=\frac{1}{T}\ \int_0^T\ \left|u\left(t\right)\right|\ dt$

Beim Gleichrichten wird die negative Halbwelle nach oben geklappt. Deshalb hast du zwei identische Wellen, sodass es ausreicht, zwei mal das Integral von 0 bis T/2 zu bilden.

$\left|u\right|=2\cdot\frac{1}{T}\ \int_0^{\frac{T}{2}}\ \left|u\left(t\right)\right|\ dt$

Wenn das alles getan wurde und die Gleichung gelöst wird, kommt als Ergebnis:

$\left|\overline{u}\right|=u_{spitze}\cdot\frac{2}{\pi}$

Diesen Wert hast du gegeben:

$\left|\overline{u}\right|=61,9\ V$

Du suchst aber den Effektivwert und diesen erhältst du - abgekürzt - über den Spitzenwert:

$U_{eff}=\frac{u_{spitze}}{\sqrt{2}}$

D.h. du suchst den Spitzenwert von deinem gegebenen Wert. Den erhältst du mit der oberen Gleichung, wenn du sie umstellst:

$u_{spitze}=\left|\overline{u}\right|\cdot\frac{\pi}{2}=61,9\ V\cdot\frac{\pi}{2}$

Einsetzen liefert:

$U_{eff}=\frac{u_{spitze}}{\sqrt{2}}=\left|\overline{u}\right|\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=61,9\ V\cdot\frac{\pi}{2\sqrt{2}}$

Dieser Faktor wird auch Formfaktor F einer Wechselgröße genannt.
Er beschreibt das Verhältnis zwischen Effektivwert und Gleichrichtwert.

Der Formfaktor bei sinusförmiger Wechselspannung beträgt, sofern jede Halbwelle gleichgerichtet wird, immer:

$F_{\sin}=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}$

Lange Rede, detaillierte Herleitung, kurzer Sinn: Für deine Aufgabe hättest du somit gebraucht:

$U_{eff}=U_{ggm}\cdot F_{\sin}$