Welche Mengen sind Unterräume?
moin,
ich soll bestimmen, welche Mengen unterräume des R^3 sind.
mfg
1 Antwort
Ich bezeichne die Bedingung immer als f(•) mit dem Vektor x = (x1, x2, x3) als Argument. Im zweiten Beispiel bedeutet also f(x) = x1^2 + x2^2 = 0.
a) Wenn x und y aus U sind, dann ist auch x + y aus U, denn
f(x+y) = f(x) + f(y) = 0.
Für Skalarmultiplikation gilt das auch. Die Vorschrift ist also linear, also ist U insbesondere ein Untervektorraum von R^3.
b) Hier ist nur x1 = x2 = 0 möglich. U ist also die x3-Achse. Eine Gerade ist ein Untervektorraum von R^3.
c) Hier ist die Null die aus dem Körper R. Wenn wir transponieren ändert sich also nichts. Somit muss gelten
f(x) = f(x)^T
Wenn man das ausrechnet erhält man
x1 (–x2 + x3) + x2 (x1 – x3) + x3 (x1 + x2) = x1 (x2 + x3) + x2 (–x1 + x3) + x3 (x1 + x2)
Was äquivalent ist zu
–2 x3 x2 = 0
Es muss also x2 oder x3 null sein (außer ich habe mich verrechnet). Somit sind (1, 0, 1) und (0, 1, 0) in U, aber nicht die Summe, also (1, 1, 1) in U, da weder x2 noch x3 null ist.
Es handelt sich also nicht um ein Untervektorraum von R^3.
d) Ist die Bedingung für zwei Vektoren erfüllt, ist es natürlich auch für die Summe. Für nichtnegative Skalare ebenso.
Ist das Skalar negativ, so werden die Ungleichungheitszeichen umgekehrt. Dann ist der mit dem Skalar multiplizierte Vektor nach Voraussetzung aber auch wieder in U.
Es handelt sich also um ein Untervektorraum des R^3.
Anmerkung: Da die Räume nicht leer sind, kann man mit dem Nullvektor überprüfen. Das habe ich jetzt weggelassen.
