Was kommt bei X1 und X2 raus und woher weiß ich, dass es nicht mehr Lösungen gibt?
Was kommt bei X1 und X2 raus und woher weiß ich, dass es nicht mehr Lösungen gibt?
Problem/Ansatz:
gegeben ist: x⁴-16³ + 72x² =0
mit Nullstellen ausklammern weiß ich, dass x² = 0 ist. Ich habe damit schon einmal x1. In meiner Lösung steht, dass x2 auch 0 ist. Woher weiß ich das? wenn ich es ausklammere, dann kommt x²( x² - 16x + 72) = 0.
Wie schon erwähnt, x1 = 0, weil wenn ich für x² - 0 einsetzte dann kommt 0 raus.
Wenn ich die PQ Formel bei x²( x² - 16x + 72) = 0 nutze, dann kommt da -8 raus und von -8 kann man die Wurzel nicht ziehen. Warum kommt für x2 dann bei der Lösung auch null raus? Und woher weiß ich, dass es nicht mehr Lösungen gibt?
5 Antworten
Die Anzahl der Lösungen ist immer gleich der höchsten Potenz. Allerdings sind da auch komplexe Lösungen dabei. (z.b. wenn du ne negative Wurzel als (Teil des) Ergebnis(es) bekommst.
Es gibt keine Zahl (im Raum der reelen Zahlen), mit der man zum Beispiel Wurzel aus -1 ausdrücken kann, weil zwei negative Zahlen immer eine positive ergeben und zwei positive ebenso. Daher wurden komplexe Zahlen eingeführt. i = Wurzel(-1). i wird imaginäre Einheit genannt. Kommt auch manchmal als Ergebnis raus, wenn du Gleichungen mit dem Taschenrechner löst :)
x^4 -16x^3 + 72x^2 =0
Du kannst zwei x ausklammern, also:
(x^2 - 16x +72)*x^2 = 0
(x^2 - 16x +72)*x1*x2 = 0
Wenn eines der beiden x-e 0 ist, steht dort quasi ausgerechnet 0=0
Den Teil in der Klammer kannst du dann noch gleich 0 setzen und pq Formel anwenden.
mit Nullstellen ausklammern weiß ich, dass X hoch 2 = 0 ist. Ich habe damit schon einmal x1. In meiner Lösung steht, dass x2 auch 0 ist. Woher weiß ich das? wenn ich es ausklammere, dann kommt x Hoch 2( x hoch 2 - 16x + 72) = 0.
Bei x² = 0 hast Du eine doppelte Nullstelle.
Zu kompliziert? Dann schreib doch X1 * X2 * (Klammer) = 0.
Da siehst Du dann, dass entweder X2 oder X2 oder die Klammer Null sein müssen.
Hast Du einen faktorisierten Term der Null werden soll, kannst Du für jeden Faktor eine eigene Gleichung aufstellen, da ein Produkt Null wird, wenn einer der Faktoren Null wird, d. h. für Dein Beispiel:
x" (x²-16x+72)=0 <=> x * x * (x²-16x+72)=0
<=> x=0 oder x=0 oder x²-16x+72=0
Die letzte Gleichung kann nicht Null werden, also nummerierst Du jetzt alle Lösungen durch, ergibt die beiden Lösungen: x1=0 und x2=0
1.) Wenn du x² ausklammerst, ergibt das eine doppelte Nullstelle, also x1=0 und x2=0
2.) Wenn du die pq-Formel anwendest auf die Klammer, wie kommst du da auf -8 unter der Wurzel? Hast du die -72 vergessen?
Setze aus Spaß einfach nur null ein. Dann kommt null raus.Eine
Verartschungsaufgabe.
Mario