Warum funktioniert das Kreuzprodukt bei Vektoren?
Wie man mit dem Kreuzprodukt umgeht, ist mir bewusst.
Warum ist der entstandene Vektor jedoch immer senkrecht zu den beiden Ursprungsvektoren?
Sachen einfach so hinzunehmen liegt nicht in meiner Natur - eine Herleitung o.ä. wäre sehr nett.
5 Antworten
An sich ist das Kreuzprodukt ja nur eine Definition, die aber ganz schnell einen Sinn bekommt, wenn du die ausgerechneten Terme einmal innerhalb eines Gebildes aus den drei Achsen nachverfolgst. Dann entstehen durch das Zusammensetzen ja Pfeile, die vektoriell aus einer Fläche herausführen.
Da du ja schon aus einer Ebene mit zwei Rechnungen aus den Richtungsvektoren mit dem Skalarprodukt auf die Senkrechten kommst, brauchst du die Ergebnisvektoren letztlich nur zu vergleichen. Wo sie stehen, ist dann unerheblich (wie immer bei Vektoren), nur parallel müssen sie alle sein, um senkrecht auf der Ebene zu stehen. Und das ist rechnerisch gewährleistet.
Um meine eigene Frage selber gemäß der Erläuterung von Physikus137 zu beantworten (einfach der Vollständigkeit halber ; wenn das hier wer über Google findet, soll er auch eine Antwort finden), liefere ich die Rechnung:
(a) (d) (bf - ce)
(b) x (e) = (cd - af)
(c) (f) (ae - bd)
Skalarmultipliziert man nun den entstandenen Vektor mit dem ersten, dann erhält man: abf-ace+bcd-baf+cae-cbd = 0
Selbiges für den zweiten Vektor:
dbf-dce+ecd-eaf+fae-fbd=0
Da zwei Vektoren senkrecht zueinander sind, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt, ist der Kreuzproduktvektor senkrecht zu seinen "Basisvektoren".
Das ist natürlich nur die algebraische Erklärung. Einen geometrischen Beweis findet man über den Zusammenhang mit dem Kosinus und dem Skalarprodukt.
das Kreuzprodukt ist nur ein Scheinvektor.
Beispiel aus der Physik:
Ein Körper wird auf einer Kreisbahn beschleunigt. Das Kreuzprodukt aus Kreisradius Vektor r (zeigt aus dem Kreis heraus) und Kraft F auf den Körper (zeigt die tangentialbahn in Drehrichtung) ergibt das Drehmoment M (zeigt dann aus der Kreisebene heraus bzw. in die Kreisebene hinein). Entscheidend ist hier der Betrag. Welchen Sinn ergibt ein Drehmoment, das in diese Richtung zeigt?
Schreibe c = a x b in Komponenten auf und bilde a . c (Skalarprodukt) oder b . c
Wenn dabei 0 rauskommt stehen die Vektoren senkrecht aufeinander.
http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Vektorpdf/Vektorprodukt.pdf
geht eigentlich ,wenns einen wirklich interessiert