Wann wird die Gerade windschief?
Guten Tag, nächsten Mittwoch schreibe ich eine Matheklausur nach und ich komme gerade beim Lernen nicht weiter.
Nr. 12 a) und b) sind einfach, aber was muss man bei c) und d) machen?
Danke schonmal im voraus!
5 Antworten
c)
Die Aufgabe ist insofern recht einfach, das es unendlich viele Lösungen gibt, und man vieles einfach frei wählen kann.
Zunächst bestimmen wir den Stützvektor der Geraden h so, dass er nicht auf g liegt. Da x1 beider Geraden verschieden ist, stelllen wir das sicher, indem wir die x2 uns x3 gleich wählen. Also lautet der Stützvektor von h: (5/2/1)
also a = 2; b = 1
Nun schneiden wir die beiden Geraden. Das t von g benenne ich um in s und es kommt dann folgendes Gleichungssystem raus:
3 + s = 5 - 2t
2 + s = 2 + t*c
1 = 1 + t*d
Es darf keine Lösung für dieses Gllechungssystem geben, dann sind die Geraden windschief. Auf Anhieb sehen wir: die dritte Gleichung hätte nur dann eine Lösung, wenn d = 0 ist, also legen wir fest: d = 1
Nun subtrahiere ich die 2. von der 1. Gleichung und erhalte:
1 = 3 - 2t - t*c
und löse nach t auf:
t(2 + c) = 2
t = 2 / (2 + c)
und suche nun ein c, sodass die Gleichung keine Lösung hat. Da nehme ich c = -2, weil dann durch 0 geteilt wird bzw. t unendlich sein müsste.
Alsdo leutet das Ergebnis:
h: x = (5/2/1) + t(-2/-2/1)
Probe:
wenn die Geraden parallel oder identisch sind, dann ist der eine Richtungsvektor ein Vielfaches des anderen: (1 1 0) und (-2 c d) Das wäre für c=-2 und d=0 der Fall
Beide Geraden gleichsetzen und dadurch ein LGS aufstellen.
Bei einem Schnittpunkt hat das LGS eine eindeutige Lösung.
Sind die Geraden windschief, dann ist das LGS unlösbar.
Du setzt die beiden Geraden gleich und löst das entstehende LGS. Du wirst dann eine Lösungsmatrix abhängig von a,b,c,d bekommen. Für bestimmte Kombinationen erhält man genau eine Lösung (Schnittpunkt), für andere unendlich viele (identisch) oder gar keine. Wenn bei "gar keine" die Richtungsvektoren nicht parallel sind, sind die beiden Gerade windschief.
Zunächst mußt du c und d so wählen das die Vektoren (1, 1, 0)^T und (-2, c, d)^T linear unabhängig sind. Dafür reicht es schon wenn du d ungleich 0 wählst (warum?). Nun wähle wenn du diese c und d hast a und b so dass die Gleichung
g(t) = h(t)
keine Lösung hat. Das ist ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem und es sollte einfach sein entsprechende Parameter zu finden. Es gibt unendlich viele verschiedene Kombinationen.
Windschief ist nicht parallel und nicht identisch und sie schneiden sich nicht. Das gibt es nur
im 3 D. im 2 D schneiden Geraden sich, die nicht die gleiche Steigung haben.
Das weiß ich, aber wie soll ich die Parameter so bestimmen, dass die beiden Geraden windschief sind? LG