Wahrscheinlichkeit-Ziehen von schwarzen und weißen Kugeln aus einer Urne
Hallo!
Die Wahrscheinlichkeitsaufgabe zu der ich eine Frage habe, lautet so:
In einer Urne befinden sich 10 gleichartige Kugeln, davon sind 8 schwarz und 2 weiß.Aus dieser Urne werden nun nacheinander 10 Kugeln gezogen, wobei nach jedem Zug die Kugel zurückgelegt wird.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau 2 weiße Kugeln zu ziehen?
Ich weiß man muss die Bernoulli-Formel anwenden, aber wieso? Könnte man nicht einfach 10*(1/5²)*(4/5^8) rechnen?
5 Antworten
Die Antwort von Ntouka7 beantwortet die Frage:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei zwei bestimmten Ziehungen (also etwa der 5. und der 8. Ziehung oder auch bei der 1. und der 2. Ziehung) jeweils eine weiße und sonst nur schwarze Kugeln zu ziehen.
Die Fragestellung aber verlangte die weißen Kugel nicht an zwei bestimmten Ziehungen des Experiments, sondern es genügt, dass überhaupt 2 weiße und 8 schwarze Kugeln gezogen werden, egal an welcher Stelle des Experiments.
Dafür aber gibt es mehr als eine Möglichkeit. Wenn es egal ist, an welcher Stelle des Experimentes die beiden weißen Kugeln gezogen werden, dann muss man alle Möglichkeiten betrachten, die es dafür gibt. Die Anzahl dieser Möglichkeiten ist gleich der Anzahl der Möglichkeiten, zwei Bücher auf jeweils einen von 10 Plätzen eines Regals zu stellen.
Sie ist gleich dem Binomialkoeffizienten
(10 über 2) = 10 ! / ( 2 ! * 8 ! ) = 45
Es gibt daher 45 günstige Versuchsergebnisse, von denen jeder die von Ntouka7 angegebene Wahrscheinlichkeit hat. Das Ergebnis von Ntouka ist daher mit 45 zu multiplizieren.
Die nachgefragte Wahrscheinlichkeit P beträgt daher:
P = ( 10 über 2 ) * 0,2 ^ 2 * 0,8 ^ 8
= 45 * 0,04 * 0,16777216
= 0,302
= 30,2 %
Die Bernopulli-Verteilung (auch als Binomial-Verteilung bezeichnet) ist anwendbar, da es sich um eine Kette von Einzelversuchen handelt, die jeweils genau zwei mögliche Versuchsausgänge haben (schwarz oder weiß).
Da die Kugeln zurückgelegt werden ist die Wahrscheinlichkeit bei 10 Zügen zwei weiße Kugeln zu ziehen:
2/10 * 2/10 * 8/10 * 8/10 * 8/10 * 8/10 * 8/10 * 8/10 * 8/10 * 8/10
Dies ist eine Übungsaufgabe, daher nur ein paar Fragen:
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen?
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen?
- Da die erste gezogene Kugel wieder zurückgelegt wird, sind die beiden Züge (stochastisch) unabhängig voneinander.
- Was ist die Wahrscheinlichkeit eines Paares (allgem. Tuples) von (stochastisch) unabhängigen Ereignissen?
Ich weiß man muss die Bernoulli-Formel anwenden, aber wieso? Könnte man nicht einfach 10*(1/5²)*(4/5^8) rechnen?
Warum die 10* davor??? Und du solltest die ² und ^8 außerhalb der Klammer schreiben. Also: (1/5)²*(4/5)^8
Dann ist das ja genau dasselbe wie Ntouka7 und deshalb solltest du Ntouka7 den Stern geben!
Das ist ja genau meine Frage!!! Im Prinzip würde ich es ja genau so rechnen aber in der Lösung steht, man solle die Bernoulli Formel anwenden. Dafür gibts nämlich nen Grund, weswegen ausgerechnet Bernoulli, aber ich kenne den Grund nicht und würd ihn gern erklärt bekommen!!
Nein. Du musst die Bernoulli-Formel anwenden, mit deiner einfachen Formel erhälst du ein anderes Ergebnis. Rechne selbst, dann bist du übrzeugt
Das hilft mir wenig weiter. Ich weiß auch, dass das Ergebnis ein anderes ist, aber warum ausgerechnet Bernoulli?:(
Die Antwort ist falsch, denn das Ergebnis entspricht nicht dem Bernoulli Ergebnis der richtigen Lösung!