Verteilungs- und Erwartungswert berechnen?
In einer Urne seien n ∈ N Kugeln mit den Nummern 1, . . . , n. Es wird ein zweistufiges Experiment durchgeführt. Zunächst wird eine Kugel gezogen und die Nummer notiert. Dann werden die Kugel sowie m ∈ N weitere Kugeln mit derselben Nummer in die Urne gelegt, wieder eine Kugel gezogen und deren Nummer notiert.
a) Die Zufallsvariablen X1 und X2 sollen die Nummern der gezogenen Kugeln beim ersten bzw. zweiten Ziehen angeben. Geben Sie X1 und X2 formal als Abbildungen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum aus i) an und berechnen Sie die Verteilungen von X1 und von X2.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert von X1 + X2.
Kann mir bitte jemand helfen?
2 Antworten
Einen Verteilungswert gibt es nicht. Du meinst wohl die Verteilung mit all ihren Funktionswerten.
Ich weiß zwar nicht, was der "Wahrscheinlichkeitsraum aus i)" ist, aber ich nehme an, es ist Ω = {1,2,3,...,n-2,n-1,n} mit P(i)=1/n für alle i aus Ω. Für X1 ist P dann die Abbildung P: Ω->{1/n}. Das ist hier nur die Abbildung jedes einzelnen Elementes aus Ω, nicht aller möglichen, also auch mehr-elementigen, Teilmengen von Ω, aber so wie ich das verstehe, ist nur danach gefragt.
Für X2, wenn j die gezogene Zahl bei X1, hast Du dann ja n+m Kugeln in der Urne, wobei auf m+1 Kugeln j steht, und alle anderen Zahlen von 1 bis n kommen nur einmal vor. Ω hat sich ja nicht verändert, es sind ja keine neuen Zahlen auf den Kugeln, nur eine Zahl kommt halt öfters vor, hat also größere Ws. P für eine Kugel ist dann
P: Ω->{1/(n+m), (m+1)/(n+m)} mit P(j)=(m+1)/(n+m) und P(i)=1/(n+m) für alle i≠j.
Dass E(X1+X2) = E(X1)+E(X2) ist, solltest Du wissen, wenn Du so eine Aufgabe gestellt bekommst, und auch wie man diese beiden berechnet, nämlich indem Du jeweils jedes Ergebnis i mit seiner Ws P(i) multiplizierst und sie alle aufaddierst.
Die Verteilung von X1 ist banal.
X2 kann man zunächst als bedingte Verteilung X2 | X1 darstellen,
P( X2= k | X1= m ) = (m+1)/(n+m) wenn k=m, 1/(n+m) wenn k≠m.
P( X2= k ) kann man dann mit der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit berechnen,
= Summe( m=1; n; P( X2= k | X1= m ) * P( X1= m ) ) = 1/n
Der Erwartungswert von X1 ist (n+1)/2. Der von X2 auch, womit E(X1+X2) = n+1 wäre.