Unendlich wahrscheinlicher als Unendlich?
Hallo, angenommen, ich habe unendlich viele Steine. Jeder 100. dieser Steine ist rot, der Rest grün. Es gibt also unendlich viele grüne Steine, aber auch unendlich viele rote Steine. Nun ziehe ich einen der Steine. Ist es wahrscheinlicher, einen grünen Stein zu ziehen, als einen roten?
2 Antworten
Da es keine Diskrete Gleichverteilung auf einer unendlich großen Menge gibt (da dann die Kolmogorov Axiome nicht erfüllt sind), ist es nicht sinnvoll, dort über Wahrscheinlichkeiten zu reden.
Aber:
Man Kann eine Folge von Zufallsvariablen Betrachten, wobei X_n eine Zufallsvariable ist, die die Werte "grün" und "rot", wobei die Wahrscheinlichkeit, dass X_n "grün" ist, gleich der Wahrscheinlichkeit ist, dass ein zufälliger der ersten n Steine die Farbe grün hat. ("Rot" bekommt dann die Gegenwahrscheinlichkeit)
Dann gilt, dass X_n in Verteilung gegen eine Zufallsvariable konvergiert, die mit Wahrscheinlichkeit von 1/100 den Wert "rot" mit mit eine Wahrscheinlichkeit von 99/100 den Wert "grün" hat.
Wenn du also immer mehr Steine Hinzufügst (und immer nur endlich viele betrachtest), dann wird mit der Zeit Grün Wahrscheinlicher als Rot.
Edit:
Konvergenz in Verteilung ist natürlich nur für Reellewertige Zufallsvariablen.
Ersetzte also "rot" mit dem Zahlenwert 1
Und "grün" mit dem Zahlenwert 2
Wie gesagt, wenn du immer mehr Steine Hinzufügst, und dann das Grenzverhalten betrachtest, bekommst du Trotzdem raus, das Grün Wahrscheinlicher.
Aber der Schluss:
Die Mengen sind Gleich mächtig also sind die gleich Wahrscheinlich, ist offensichtlich falsch, das geht schon kaputt, wenn man die (stetige!) Gleichverteilung auf dem Intervall [0,1] betrachtet:
Die Intervalle [0,0.1] und [0,0.9] sind beide gleichmächtig, die Wahrscheinlichkeit ist trotzdem unterschiedlich. Nicht die Mächtigkeit gibt vor, was die Wahrscheinlichkeit ist, sondern das Maß, welches die Mengen misst.
Wie weißt du, dass jeder 100. Stein rot ist? Vermutlich aus den Steinen, die dir (gedanklich) vorliegen. Wenn du nun einen Stein nimmst, so ist das einer von denen. Daher Chance 1:99.
Obwohl ich weiß, dass es genau so viele grüne wie rote Steine gibt, bin ich auch der Meinung, dass Grün wahrscheinlicher ist. Zumindest fühle ich mich damit besser 😉