Übertragungsfunktion Rampenantwort Impulsantwort?
G(s)=(2s+1)/(s^2+3s+2)
Berechnen Sie die Rampenantwort r(t).
Musterlösung:
Meine:
Passt aber nicht...
1 Antwort
Meiner Meinung nach ist der oben gezeigte Lösungsweg nicht sinnvoll, da er viel zu Rechenaufwendig ist. Es gibt wesentlich schnellere Varianten. So kann man die Koeffizienten für einfache Pole bereits schon mittels "bloßem Hinsehen" direkt sehen, ohne großen Rechenaufwand. Hier folgt:
G(s) = (2s + 1)/(s^2 + 3s + 2)
Mit Rampenförmigen Eingangssignal W(s) = 1/s² folgt dann:
Y(s) = G(s)*W(s) = (2s + 1)/(s^2 * (s^2 + 3s + 2))
Berechne zunächst die Polstellen:
s^2 * (s^2 + 3s + 2) = 0
--> s1 = 0
--> s2 = 0
--> s3 = -1
--> s4 = -2
Wir können also eine Partialbruchzerlegung vornehmen, der Gestalt:
Y(s) = A/s + B/s² + C/(s + 1) + D/(s + 2)
Für einfache Pole geht man wie folgt vor:
(i) Multipliziere Y(s) mit dem zum Pol sp zugehörigen Linearfaktor (s - sp)
(ii) Bestimme den Grenzwert für s --> sp
(iii) Der Grenzwert entspricht dem zugehörigen Koeffizienten
Wieso das funktioniert sieht man recht schnell, wenn man das Verfahren in der PBZ-Form durchführt.
Bsp.: sp = -1
--> Y(s)*(s + 1) = (A/s + B/s² + D/(s + 2))*(s + 1) + C
--> lim(s->-1){ Y(s)*(s+1) } = lim(s->-1){ (A/s + B/s² + D/(s + 2)) }*0 + C = C
und da (A/s + B/s² + D/(s + 2)) keinen Pol in s = -1 enthält ist der Grenzwert endlich und (A/s + B/s² + D/(s + 2))*(s + 1) geht im limes gegen 0.
Man erhält also:
D = (-4 + 1)/(4 * (-1)) = 0.75
C = (-2 + 1)/(1 * 1) = -1
Für Pole mit mehrfacher Häufigkeit geht man wie folgt vor:
(i) Multipliziere Y(s) mit dem zum Pol sp zugehörigen Linearfaktor (s - sp)^n , wobei n der Häufigkeit des Poles entspricht.
(ii) Für den Faktor der Potenz (n-k) differenziere k-mal nach s und dividiere das resultierende Ergebnis durch k!
(iii) Bestimme schließlich den Grenzwert für s -> sp, das Ergebnis entpspricht dem Faktor.
Bsp.: Y(s) = A/(s + 2) + B/(s + 2)² = (s + 1)/(s + 2)²
--> B = lim(s -> -2){ Y(s)*(s + 2)² } = lim(s -> -2){ (s + 1) } = -1
--> A = lim(s -> -2){ d[Y(s)*(s + 2)²]/ds * 1/(1!) } = 1
Also: Y(s) = 1/(s + 2) - 1/(s + 2)²
und das dies stimmt sieht man schnell ein, wenn man das ganze einfach auf einen Nenner bringt. Es folgt: 1/(s + 2) - 1/(s + 2)² = (s + 2 - 1)/(s + 2)² = (s + 1)/(s + 2)²
Nun zurück zur Aufgabe:
B = lim(s -> 0){ Y(s)*s² } = lim(s -> 0){ (2s + 1)/((s^2 + 3s + 2)} = 1/2 = 0.5
Um A zu bestimmen könnte man nun obiges Verfahren anwenden, es ist jedoch meist schneller wenn man einfach spezielle Werte für s einsetzt und dann nach A auflöst. Man sollte aber zuvor so viele Werte wie möglich mittels obiger Methode (bestenfalls ohne das Differenzieren) gefunden haben, damit das resultierende Gleichungssystem besonders klein und effizient gelöst werden kann. Wähle hier also s = 1:
Y(s) = (2s + 1)/(s^2 * (s^2 + 3s + 2)) = A/s + 0.5/s² + (-1)/(s + 1) + 0.75/(s + 2)
Einsetzen von s = 1 liefert:
Y(s = 1) = 3/6 = 0.5 = A + 0.5 - 0.5 + 0.75/3 = A + 0.25
--> A = 0.5 - 0.25 = 0.25
Wir erhalten also schließlich:
Y(s) = 0.25/s + 0.5/s² + (-1)/(s + 1) + 0.75/(s + 2)
Die Transformation zurück in den Zeitbereich liefert dann:
y(t) = 0.25 + 0.5*t - e^(-t) + 0.75*e^(-2t)