Textaufgabe zur Integralrechnung
Ein Tomatensetzling besitzt beim Einpflanzen eine Höhe von 5 cm. Seine Höhe nimmt mit der Geschwindigkeit v(t)=−0,1t³+t² zu. (t in Wochen, v in cm/ Woche)
Rekonstruieren sie die Funktion h, die die Höhe der Pflanze erfasst. Klären Sie folgende Fragen:
a) Wie lange dauert die Wachstumsphase? b) Wie hoch wird die Pflanze maximal? c) Wie hoch wird die Pflanze zum Zeitpunkt des schnellsten Wachstums sein.
Ich bin so vorgegangen:
a) v(t) = 0
t1=10
t2= 0
Also dauert die Wachstumsphase 10 Wochen.
b)
Um die Höhe zu berechnen, habe ich die Stammfunktion gebildet:
h(t) = -0,025t^4 + 1/3 t³
Nun habe ich die 10 eingesetzt und das Ergebnis + 5 gerechnet (88,3 cm)
c)
Da habe ich die erste Ableitung von v(t) gebildet:
v'(t) = -0,3t² + 2t
Und auch diese gleich Null gesetzt
Den Wert (20/3) habe ich wieder in h(t) eingesetzt und das Ergebnis + 5 gerechnet. Heraus kam 54, 38 cm.
Ist das so richtig? Wär super nett wenn jemand antwortet!
1 Antwort
Hi,
die Höhe der Pflanze wird durch die Integration von v(t) angegeben: h(t) = - 0,025t^4+ 1/3*t³ + 5 die +5 am Ende sind die Ausgangsgröße, die anderen Werte erhältst du mit der Formel Integral von t hoch n dt = 1/(n+1) * t^(n+1), also im Exponenten eins addieren und durch den neuen Exponenten dividieren.
a) Die Wachstumsphase ist die Phase, in der v(t) >0 ist., also: t²*(-0,1t + 1) > 0. Es gilt, dass t² immer größer bzw. gleich 0 ist, gleich 0 nur für t = 0, also ab dem Moment des Eingrabens immer t²>0. Deshalb musst du nur die Klammer betrachten: -0,1t + 1 >0 kann umgeformt werden zu 1 > 0,1t oder zu 10 > t. Also dauert die Wachstumsphase im Intervall ]0;10[ an. b) Am höchsten ist die Pflanze am Hochpunkt der Funktion h(t), also h'(t) = 0 und h''(t) <0. h'(t) = v(t) = 0 gilt für t = 0 und t = 10, h''(t) = - 0,3t² + 2t, für 10 gilt: h''(10) = - 300 + 20 = - 280 <0, also liegt bei t = 10 der Hochpunkt vor, h(10) = 88,33 cm ist die größte Höhe der Pflanze c) Zeitpunkt des schnellsten Wachstums = Wendepunkt von h(t) im Bereich ]0;10[. Also: h''(t) = 0 oder -0,3t² + 2t = 0 oder t *(-0,3t + 2) = 0, t = 0 ist es nicht, also: -0,3t + 2 = 0 oder 2 = 0,3t oder t = 6,6periodisch. Im Laufe der siebenten Woche ist der Zeitpunkt des schnellsten Wachstums erreicht, die zugehörige Höhe ergibt sich, indem du t = 6,6periodisch in h(t) einsetzt: h(6,6periodisch) = gerundet 54,38 cm.
dein Ergebnis ist glaub fast richtig wenn ich es richtig gelesen habe!
Lg Moa
„h''(10) = - 300 + 20 = - 280“
Ich verstehe nicht wie du darauf gekommen bist. Weil wenn man die 10 in die Gleichung setzt, dann steht da doch : h”(10)=-0,3 + 2 • 10 = 19,7. Dementsprechend wäre dies ja ein Tiefpunkt und kein Hochpunkt.
Kannst du mir vielleicht erklären wie man darauf kommt bzw was ich falsch gemacht habe?