Steigung mit Hilfe des Differentialquotiente berechnen?

3 Antworten

Rhenane
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik, rechnen, Ableitung
20.02.2017, 16:41

Der Differentialquotient lautet: lim x->x0 [f(x)-f(x0)]/(x-x0)

Jetzt setzt Du die Werte ein und ermittelst den Grenzwert:
lim x->1 [-x²+4 - (-1²+4)]/(x-1)
=lim x->1 [-x²+1]/(x-1)                            |Zähler ist 3. Binom (1-x²)
=lim x->1 (x+1)(x-1)/(x-1)                       |(x-1) kürzen
=lim x->1 x+1                                         |einfach 1 einsetzen
= 1+1 = 2

Die Steigung von f an der Stelle x=1 ist also 2.

bei b) ermittelst Du zuerst die beiden Schnittpunkte, indem Du f(x)=g(x) nach x auflöst. Dann berechnest Du die Steigungen an diesen Schnittpunkten. An den Steigungen wirst Du erkennen, dass die Winkel der Tangenten zueinander gleich sein müssen, ohne jeweils den entsprechenden Winkel mit aufwendigen Rechnungen zu ermitteln...
Rhenane  21.02.2017, 13:13

Oh sorry, erkenne gerade einen kapitalen Fehler...
3. Binom (1-x²) = (1+x)(1-x)   [ich hab (x²-1) aufgelöst]

Den Nenner kannst Du so umschreiben, dass man sofort sieht, was man kürzen kann: (x-1)=-(-x+1)=-(1-x)
Wenn Du jetzt (1-x) kürzt, bleibt -(1+x)=-x-1 übrig.
Für x->1 kommt dann natürlich -2 raus, nicht +2.

Hätte mir eigentlich sofort auffallen müssen...

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michiwien22
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik
20.02.2017, 16:35

f(x)=-x²+4

f(x+δ)=-(x+δ)²+4 = -x²-2δx-δ² +4

lim (δ→0) { f(x+δ)-f(x) } / δ = -2x - δ = -2x

Daher ist der Differenzialquotient an der Stelle x=1: dy/dx = -2