Skalarprodukt: Euklidisches Skalarprodukt und "Skalarprodukt" Unterschied?

Wir haben bei LA gelernt, dass es außer dem euklidischen, also dem "normalen" Skalarprodukt, noch andere Skalarprodukte gibt. Also dass das euklidische Skalarprodukt nur ein Sonderfall von einem Skalarprodukt ist.

Irgendwie habe ich das nicht so ganz verstanden. Kann mir jemand erklären, wie man ein Skalarprodukt, das kein euklidisches Skalarprodukt ist berechnen würde? Also gibt es einen allgemeinen Rechenweg, wie man Skalarprodukte berechnet, egal ob es das euklidische Skalarprodukt ist oder ein anderes?

Kann mir jemand dafür ein Beispiel von einem Skalarprodukt geben, dass nicht das euklidische Skalarprodukt ist und wie man das dann rechnet? Ist nicht jedes Skalarprodukt ein euklidisches Skalarprodukt?

Vielen Dank schonmal im Vorraus.

Answer 1

[DerRoll]

Du kannst auf endlichdimensionalen Vektorräumen zum Beispiel ein Skalarprodukt definieren, indem du jede Komponente mit einer positiven Zahl gewichtest. Im R^3 seinen z.B. a1, a2, a3 > 0. Dann definiert

<x, y>_a := a1*x1*y1 + a2*x2*y2 + a3*x3*y3

ein Skalarprodukt.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Answer 2

[Wechselfreund]

https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt#Standardskalarprodukt_im_Rn_und_im_Cn

Answer 3

[samsung906]

wie man ein Skalarprodukt, das kein euklidisches Skalarprodukt ist berechnen würde?

Man wendet wie beim euklidischen einfach die definition des skalarprodukts an

Also gibt es einen allgemeinen Rechenweg, wie man Skalarprodukte berechnet, egal ob es das euklidische Skalarprodukt ist oder ein anderes?

Nein, den geht es nicht

Comments

[Amylee19]

Kannst du mir ein Beispiel geben, für ein Skalarprodukt, das kein euklidisches Skalarprodukt ist? Damit ich mir etwas drunter vorstellen kann?

[samsung906]

@Amylee19

z.B. das für stetige funktionen: https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt#L2-Skalarprodukt_f%C3%BCr_Funktionen

[Amylee19]

@samsung906

Prima, vielen Dank :)