quadratisch ergänzen und mitternachtsformel / abc-formel?

Was ist der zusammenhang zwischen quadratisch ergänzen und der mitternachtsformel? Sry falls es eine dumme frage ist wir haben das thema neu angefangen und bin etwas verwirrt

Answer 1

[FataMorgana2010]

Wenn du die quadratische Ergänzung auf die Gleichung

ax² + bx + c = 0 anwendest, also immer mit den Unbekannten a, b und c rechnest, dann bekommst du als Ergebnis die Mitternachtsformel. Das ist der Zusammenhang zwischen den beiden.

$ax^2+bx\ +\ c\ =\ 0\$ $a\left(x^2\ +\frac{b}{a}x\right)+c=0$ $a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+c\ =\ 0\$ $a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+c\ =\ 0$ Diese Gleichung kannst du jetzt nach x auflösen:

$a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)\ =\ -c$ $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\ -\left(\frac{b}{2a}\right)^2\ =\ -\frac{c}{a}$

$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\ =\ \left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}$

usw.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.-Math. :-)

Answer 2

[Hamburger02]

Quadratische Funktionen bzw. die Gleichung von Parabeln können in 3 Formen dargestellt werden:

Normalform: y = ax² + bx + c
Scheitelpunktform: y= a(x + xs)^2 + ys mit S(xs/ys)
Nullstellenform (faktorisierte Form): y = a(x + x1)(x + x2)

Dem entsprechen verschiedene Formen quadratischer Gleichungen:
ax² + bx + c = 0
a(x + xs)^2 + ys = 0
a(x + x1)(x + x2) =

Um die Normalform in die Scheitelpunktform umzuwandeln, benötigt man die quadratische Ergänzung.

Um die Normalform in die Nullstellenform umzuwandeln, benötigt man die abc-Formel. Eine Abwandlung der abc-Formel ist die pq-Formel.