Ortskurve bei unterschiedlichen X-Koordinaten möglich?
Hallo liebe Mathe-Profis,
in meiner nächsten Klausur werden wir Ortskurven als ein Thema haben. Ich stelle mir jetzt die Frage, ob es möglich ist eine Ortskurve aus zwei verschiedenen X-Koordinaten zu basteln.
Dieses Beispiel habe ich auf StudySmarter gefunden:
Kurzgesagt kommt man nach einer Rechnung auf folgendes Ergebnis für zwei X-Koordinaten (grün) und ihre jeweiligen, im übrigen identischen, y-Koordinaten (blau)
Nun steht hier, das es für die Berechnung Ortskurve egal ist, welche X-Koordinate wir im Folgenden benutzen. Und in dieser Aufgabe funktioniert es ja auch, denn die Wurzel aus 0.5a quadriert ist das Gleiche wie Minus die Wurzel aus 0.5 a quadriert. (Schritt 2)
Im Endeffekt kommt man dann auf folgende Gleichung: Und alle Möglichkeiten der beiden Tiefpunkte liegen auf dieser Gleichung.
Nun stelle ich mir die Frage, ob es immer möglich ist die ja eigentlich unabhängigen X-Koordinaten einer Funktionsschar auf einer Ortskurve zu vereinen. Vom Bauchgefühl her würde ich sagen, dass dies nicht immer geht, da die X-Koordinaten der Extrempunkte ja eigentlich unabhängig sind. Die Aufgabenstellung müsste also eigentlich lauten: „Bilden Sie die Ortskurve eines Tiefpunktes“.
Ist es in dieser Aufgabe also bloß eine „Unglückliche Formulierung“? oder ist es wirklich so, dass alle möglichen Tiefpunkte auf einer Ortskurve liegen können.
LG
Ergänzung: Dass alle möglichen Tiefpunkte auf einer Ortskurve liegen können, zeigt das Beispiel ja offensichtlich. Die Frage sollte also eher lauten, ob sie das auch in jedem Beispiel tun.
Tut mir leid, für die Verwirrung.
Ich kann dir auch keine Antwort geben. Hast du schon versucht die These mit einer asymmetrischen Funktion zu bestärken oder widerlegen?
Hallo,
Das ganze dürfe eigentlich dann nicht mehr funktionieren, wenn die jeweiligen y-Werte der X-Koordinaten unterschiedlich sind, da es dann keine einheitliche Funktion mehr gibt
1 Antwort
Wenn der Parameter der Funktionenschar nur "in einer Form" auftaucht, also nicht etwa z. B. als a und a², dann spielt es keine Rolle, welchen Punkt Du nimmst, denn:
Zur Bestimmung von Extremstellen setzt Du ja f_a'(x)=0 und rechnest eigentlich zuerst die x-Werte aus, an denen mögliche Extremstellen sind.
Wenn Du diese Gleichung aber schon nach dem zu ersetzenden Parameter umstellst, und den sich daraus ergebenden Term in der Ausgangsfunktion für den Parameter einsetzt, erhältst Du den eindeutigen Funktionsterm der alle Punkte enthält, bei denen die Funktionenschar bei entsprechendem Parameter die Steigung Null hat.
Mit Funktionenscharen mit z. B. a und a² als Parameter hatte ich (soweit ich mich erinnern kann) nie zu tun, und habe auch gerade nicht die Muße, tiefer darüber nachzudenken wie man in diesem Fall bestätigen/widerlegen könnte, dass der gewählte Punkt bzgl. der Ortskurve egal ist.
In Deinem Beispiel ist es übrigens deshalb schon egal, weil diese Funktionenschar achsensymmetrisch ist - daher auch dieselben y-Werte an den Tiefpunkte...
Nimm z. B. f(x)=x⁴+x³-kx²:
f'(x)=4x(x²+3/4x-k/2)
Dann sind die Tiefpunkte bei (Klammer=0) x1,2=-3/8±√(9/64+k/2), und deren y-Werte unterschiedlich.
Egal ob Du x1 oder x2 nach k umstellst, es kommt in beiden Fällen raus: k=2*((x+3/8)²-9/64).
Das nun in f eingesetzt ergibt die Ortskurve. Lass Dir diese von einem Plotter anzeigen und lege f mit verschiedenen k's darüber und Du siehst, dass beide Tiefpunkte mit ihren unterschiedlichen y-Werten auf dieser Ortskurve liegen - logisch, denn für beide Stellen x1 und x2 gibt es nur ein k=...
Und wie ich in meiner Antwort im dritten Absatz auch schon geschrieben habe: stellst Du einfach die gleich Null gesetzte Klammer, also x²+3/4x-k/2=0 nach k um und setzt das in f ein, bist Du auch schon bei der (einzigen) Ortskurve, denn es gibt nur diese eine Lösung für k!
Ich glaube, deine erste Ableitung ist falsch. Es müsste f‘(x)=4x(x² +3x/4-k/2) heißen. Aber trotzdem ändert es nichts daran, dass du Recht hast. Denn obwohl ich zwar einen unterschiedlichen Wert für K herausbekomme ist er trotzdem für beide X-Koordinaten der zwei Tiefpunkte identisch.
Allerdings würde ich dir im letzten Abschnitt widersprechen (korrigiere mich gerne). Würde ich die gleich null gesetze Klammer direkt nach k umstellen und das Ergebnis in die Ursprungsfunktion einsetzen, erhielte ich doch die Ortskurve aller Lösungen für K- also unabhängig ob Tief- Hoch- oder Sattelpunkt.
Eigentlich müsst ich doch erst meine X-Koordinaten für f‘(x)=0 in die zweite Ableitung einsetzen, um zu überprüfen, ob es sich ,wie in deinem Beispiel,tatsächlich um Tiefpunkte handelt.
Für mich macht es erst nach diesem Schritt Sinn, die Funktion nach dem Parameter umzustellen.
Vielen Dank für deine Mühe!
Bzgl. der Ableitung: 3/4x ist dasselbe wie 3x/4 ! Das heißt auch, Du müsstest auf dasselbe k wie ich kommen.
Und bzgl. des letzten Abschnitts: multipliziere doch einfach mal oben den Term des k's aus, nachdem x1 bzw. x2 nach k umgestellt wurde; es ist derselbe Term wie der, der direkt nach f'=0 nach k umgestellt wurde. Ob es sich bei x1 und x2 um Hoch, Tief- oder Sattelpunkte handelt spielt keine Rolle. Es gibt nur dieses eine k, und somit auch nur diese eine Ortskurve, auf der alle Punkte liegen, die an den Stellen x1 und x2 die Steigung Null haben.
Ja, solange für alle Extremstellen gilt: x1,2,3,...=...k... D. h. für alle x-Stellen gilt dieselbe Gleichung, denn die bleibt ja nach k umgestellt auch dieselbe.
Man könnte z. B. eine Funktion konstruieren für die gilt: f'(x)=(x+k)(x-2k)=0.
Dann hast Du natürlich 2 verschiedene Ortskurven: einmal für alle Punkte die x=-k betreffen und einmal für alle Punkte bzgl. x=2k.
Vielen, vielen Dank! Das hat definitiv Licht ins Dunkle gebracht! Wir besprechen im Unterricht leider nicht die Hintergründe und uns wird bloß das simple „Kochrezept“ für das Ermitteln der Ortskurve beigebracht. (Im übrigen haben wir auf nur eine Methode für das Ermitteln der Ortskurve gelernt)
Ich halte fest: Solange die Gleichung K=… für alle X-Werte identisch ist, erhalte ich eine einzelne Ortskurve für alle Tief-/ Hoch-/ Wendepunkte. Ist dies nicht der Fall, gibt es entsprechend mehrere.
Für die erste Variante ist es auch egal, ob die X- oder Y-Werte der Tief-/ Hoch-/ Wendepunkte jeweils unterschiedlich ist.
Richtig, solange es bzgl. einer Eigenschaft der Funktionenschar (z. B. Steigung gleich Null im Hinblick auf Extremstellen) nur eine einzige Gleichung gibt, die von k abhängt, gibt es auch nur eine Ortskurve auf der alle Punkte dieser bestimmten Eigenschaft liegen.
In der "Praxis" ist ja in der Regel spezieller nach den Ortskurven gefragt, z. B. "Ortskurve aller Maxima", dann musst Du eh erst die x-Stellen bestimmen, und ob es sich dort um einen Hoch-/Tief- oder Sattelpunkt handelt. Erst dann stellst Du die entsprechende(n) x-Koordinate(n) nach k um und ersetzt damit das k im Funktionsterm.
Und dass die y-Werte in Deinem Beispiel bei beiden Tiefpunkten gleich sind liegt einfach daran, dass diese Beispielfunktion "zufällig" achsensymmetrisch ist (in diesem Fall zur y-Achse), aber wie mein (Gegen-)Beispiel zeigt, liegen auch Punkte derselben Eigenschaft und unterschiedlichen Funktionswerten auf derselben Ortskurve.
Danke für deine Antwort! Ich frage mich nur, was passiert wenn beispielsweise die Y-Koordinaten der Tiefpunkte nicht identisch wären (anders als in diesem Beispiel). Angenommen wir hätten statt zweimal -0.25 a² zum Beispiel -0.25a² und -0.25 a^3 herausbekommen. Ich habe versucht eine derartige Funktion zu erstellen, habe es aber leider nicht geschafft.
Dann hätten wir ja zwei unterschiedliche Gleichungen, nämlich:
y=-0.25a² und
y= 0.25a^3
Selbst wenn das Ergebnis nach dem Umstellen des X-Wertes nach dem Parameter für beide X-Koordinaten identisch bleiben würde (in diesem Beispiel a=2x²), ergäbe sich dann letzendlich nicht die gleiche Funktion für die Ortskurve.
y= -0.25*(2x²)²
y=-0.25*(2x²)^3
Ich weiß, dass der Vergleich mit dieser Funktion hinkt, da die Ergebnisse ja nicht passen. Aber ich wüsste nicht, wie ich eine einheitliche Ortskurve für alle Tiefpunkte einer Funktion aufstellen soll, falls die Y-Koordinaten der X-Werte nicht identisch sind.