Optimierungsaufgaben - Mathe! Wie geht das nur?! :(
Guten Tag Gutefrage-Community,
ich habe da eine Frage unzwar zerbreche ich mich schon eine weile (ca. 1h) den Kopf wie man Optimierungsaufgaben löst. Das sollen wir bis Montag selbstständig erarbeiten.
1) Kann mir einer Sagen wie man Optimierungsaufgaben allgemein löst?
2) Dann habe ich noch eine konkrete Aufgabe die ich lösen soll (Gehört zum Bild im Anhang!): Auf dem im Bild abgebildeten Dreieckigen Grundstück soll eine Fläche mit rechteckigem Grundriss so abgezäunt werden, dass es direkt an die Linke und Untere Seite grenzt. Die Verbleibenden Dreicke sollen als Grünflächen genutzt werden. Welche Maße würdest du als Architekt für den Grundriss vorschlagen, damit der Flächeninhalt von dem eingezäunten Bereich möglichst groß ist?
(Für die bestimmung des maximums an der Parabell sollen / können wir den Taschenrechner nutzen.)
Dafür habe ich schonmal eine Extremalbedingung / Hauptbedingung: A = a mal b
Doch schon bei der Nebenbedingung komme ich nicht weiter :-(
Ich danke euch vielmals und hoffe auf schnelle und kompetente Antworten :-)
Viele Grüße, WasWiesoWarumWo
5 Antworten
Der Abstieg zur simplen Parabel und einer Scheitelpunktbestimmung liegt allen "Ableitern" natürlich so fern wie nur was, aber da muss man eben hin!
Zunächst ist die Funktion für die Gerade zu ermitteln. Denn die möglichen Punkte für eine maximale Fläche liegen alle auf ihr.
Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist 60. Die Steigung ist m=-1/2 . Das kann man sehen.
Daher g: y = -1/2x + 60
Jeder Punkt dieser Gerade hat x,y-Kordinaten, sodass gilt:
um an einem Punkt die Dreiecksfläche zu erreichen, muss ich rechnen:
A = x * y / 2 Grundfläche mal Höhe durch 2
Ich setze also in diese Flächengleichung das y von oben ein.
A = x * (-1/2 x + 60) / 2
A = x * (-1/4 x + 30)
A = -1/4 x² + 30x
Damit habe ich eine virtuelle Parabelgleichung, die aus lauter Punkten besteht, die mögliche Flächen wären. Diese Parabel ist wegen des Minus nach unten geöffnet, ihr höchster (größter) Punkt ist der Scheitelpunkt. Und den muss ich nun ausrechnen.
[ Das komt gleich im Kommentar. Ich möchte dies erstmal wegschreiben. Bei GF weiß man ja nie ... ]
Weißte, in der 8. Klasse haste noch gar keine Ableitung. Bleibt also geometrisch übrig oder mit ausprobieren.
y= -0,5x+60
x mal y= max
So nun bestimmste mehrere Punkte, die obige Gleichung erfüllen. Am besten in einer Tabelle
x= 10 ; y= -0,5 mal 10 +60= 55 ---> x mal y = 550
x= 40; y= 40 ---> x mal y= 1600
x= 35; y= 50 ---> x mal y= 1750
x= 30; y= 60---> x mal y= 1800
x= 25 ; y= 70---> x mal y = 1750 AHA, bisher ist es immer MEHR geworden, nun wird es WENIGER. Bei P(30/60) liegt also der gesuchte Punkt.
Geometrisch kannste dir denken, dass der Punkt irgendwo "in der Mitte" liegt. Du spiegelst das Dreieck also so, dass du ein Fußballfeld bekommst und bestimmst den Mittelpunkt, indem du die Ecken miteinander verbindest.
ZU AUfgabe 1) Lola und mein7teraccount lösen Extremwertaufgaben mit Ableitungen, mein Mathedozent an der Uni benutzte generell immer Matritzen und ich habs nun mit ausprobieren gelöst. Die Frage wie das allgemein geht, ist doof, weil sie höchstens fragen könnte, wie IHR das in EURER KLASSE allgemein macht. ABer das hast du selbst ja auch schon beantwortet: Zitat: "Wir sollten da immer ne Extremalbedingung + Nebenbedingung machen. Die Nebenbedingung umformen und in die Extremalbedingung einsetzen und dann halt mit dem Taschenrechner und der Y= Gleichung das Maximum bestimmen."
Danke - Danke - Danke , jetzt fehlt mir nur noch eins!
Wie kann ich es Graphisch machen also mit dem Taschenrechner.
Das sollte immer mit einer Parabell gemacht werden... (Maximum / Minimum mit dem TI)?
Die Werte geben ja eine Parabel. Auf die x-Achse schreibst du die x-Werte, auf die y-Achse die m². Der Scheitelpunkt liegt dann bei S(30/1800) . Weitere Punkte wären zb P(40/1600) oder P(25/1750). Die Parabel ist nach unten geöffnet.
Eine Optimierungsaufgabe ist prinzipiell eine Aufgabe, bei der irgend etwas optimal - also möglichst groß (Maximum) oder möglichst klein (Minimum) werden soll, aber unter bestimmten Bedingungen.
In deinem Fall soll das Rechteck mit der rechten oberen Ecke auf einer Geraden liegen und mit zwei Seiten auf den Koordinatenachsen - das ist deine Nebenbedingung!
Der Einfachkeit sage ich: Länge vom Rechteck ist "x", Breite ist "y".
Hauptbedingung: A = x·y → Maximum
Nebenbingung: y = -0,5·x + 60
Du ersetzt in der HB y → A = x·(-0,5x+60) → A = -0,5·x²+60x … d.h. du hast eine quadratische Funktion (=Parabel), der Scheitel ist das Maximum
Der weitere Lösungsweg hängt davon ab, in welche Klasse du gehst:
- Du weißt, was Differenzieren ist: Du bildest die erste Ableitung von A und setzt diese gleich 0: A’(x) = -x+60 → x=60 → in NB einsetzen: y=30
- Du hast keine Ahnung, was ich da oben gemacht habe:Du suchst den Scheitel einer Parabel → Parabelgleichung mittels quadratischer Ergänzung ( Anwendung der binomischen Formel: (a ∓ b) = a² ∓ 2·a·b + b² ) in Scheitelpunktform ( y = a·(x-b)+c … hier ist b die x-Koordinate des Scheitels) überführen:
- A = -0,5·x²+60x →
- -0,5·(x²-120·x) →
- -0,5·(x²-120·x+3600-3600) … "-3600" aus der Klammer rausrechnen →
- -0,5·(x²-120·x+3600) + 1800 →
- -0,5·(x-60)² + 1800
Daraus ergibt sich die x-Koordinate des Scheitels → in Geradengleichung einsetzen: y = 30
→ optmimales Rechteck mit Länge=60 und Breite=30
Also als erstes musst du sozusagen herausfinden, welche Funktion die hypothenuse des Dreiecks beschreibt. Aus deinen Angaben ergeben sich 2 Punkte ( P (0/60) & Q (120/0)). Diese setzt du beide in die Gleichung y=mx+n (lineare gleichung) und stellst die daraus entstehende 1. Gleichung nach n um (P in y=mx+n -> n=60). Dieses n setzt du in die 2. Gleichung ein (Q in y=mx+n -> 0=120m+60). Dann stellst du nach m um -> du erhälst letztlich mit den errechneten Größen y= -1/2 x +60.
Nun stellst du die Hauptbedingung auf mit A=a×b Nebenbedingung: A= Max (soll ja größtmögliche rechtecksfläche sein) a=x (Beschreibt die Seite auf der x-achse) b=-1/2x+60 Zielfunktion: A (x)= x × (-1/2x+60) A (x)= -1/2 x^2+60
Ableitung: A'(x)=-x+60 A''(x)=-1
Extremalproblem: A'(x)=0 0=-x+60 x=60
A''(x)<0 A"(60)=-1 <0 w.a.
-> a=60 b=30 A=1800
Ou wir hatten noch keine Ableitungen...
Wir haben das immer so gemacht:
Wir sollten da immer ne Extremalbedingung + Nebenbedingung machen. Die Nebenbedingung umformen und in die Extremalbedingung einsetzen und dann halt mit dem Taschenrechner und der Y= Gleichung das Maximum bestimmen.
hypothenuse = Was ist das?
Ich glaube das ist zu kompliziert - so hatten wir das noch nicht :-( :-/
Hypotenuse ist die längste seite beim Dreieck.
Ok...bei der Vorgehensweise müsste ich erstmal in alten heften nachschauen:s
Es gibt viele Möglichkeiten. Eine wäre eine Lagrange-Funktion evlt mit Nebenbedingungen aufstellen, partiell ableiten und das daraus entstehende Gleichungssystem lösen :D
Kannst du mir das bitte erklären?
P.S. Ich bin in der 8. Klasse. Wir sollten da immer ne Extremalbedingung + Nebenbedingung machen. Die Nebenbedingung umformen und in die Extremalbedingung einsetzen und dann halt mit dem Taschenrechner und der Y= Gleichung das Maximum bestimmen. Ich weiß nur nicht wie das bei der einen Aufgabe funktioniert... :(
Wie ich das machen würde, aber ich glaube das ist für die 8te Klasse vllt zu kompliziert, damit löst du aber fast alle Maximierungsaufgaben:
Deine Schräge kannst du als Funktion darstellen: y=60-1/2 x
=> max x*y + c (60-1/2x-y)
Nach x ableiten:
y-1/2c=0
Nach y ableiten:
x-c=0 => c=x
c in die erste Bedingung einsetzten: y =1/2 x
Das ist die Funktion einsetzten:
1/2x = 60-1/2x => x =60 => y=30
wie gesagt, so hätte ich das gelöst :D
Ou ja das ist leider zu kompliziert ...
Falls ich es garnicht checke versuch ich das so wie du meinst zu lernen. Hoffentlich verka*** ich den Mathetest am Monat nicht ;-(
Für diese Parabel muss ich eine quadratische Ergänzung machen, um den Scheitelpunkt S zu bestimmen. Ich muss jetzt voraussetzen, dass du weißt, was ich da tue, weil ja auch noch der Störfaktor (-1/4) vorhanden ist:
A = -1/4 (x² - 120x ) Das kommt hin, wenn du zurückrechnest.
In die Lücke muss ich die quadratische Ergänzung bringen und die Kompensation hinter die Klammer und dabei auch an (-1/4) denken.
A = -1/4 (x² - 120x + 60²) + 3600/4
A = -1/4 (x² - 60)² + 900
S (60|900)
Dabei interessiert mich nur der x-Wert.
Den brauche ich, um ihn in die Geradengleichung von ganz oben einzusetzen, weil darauf ja alle Flächenwerte liegen.
g: y = -60/2 + 30
y = 30
Ich weiß also mit x = 60 und y = 30
die maximale Fläche A = 1800 m²
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Hier wurde nicht probiert. Hier wurde gerechnet
mit den Möglichkeiten der 8. Klasse.