Normalverteilung, Erwartungswert, Standardabweichung?
Hallo,
Wir haben eine Aufgabe in Mathe zur Normalverteilung bekommen, welche ich schon mal früher machen wollte.
Und zwar geht es hier um eine stückweise definierte Funktion, die als Wahrscheinlichkeitdichtefunktion mit einer stetigen Zufallsvariable betrachtet werden soll.
Gefragt sind hier dann der Erwartungswert und die Standardabweichung. Ich erhalte als Ergebnis für den Erwartungswert „0“ und für die Standardabweichung „Wurzel 2“. Nun bin ich mir nicht sicher ob dies richtig ist und wollte euch fragen ob ihr mir hier weiterhelfen könntet und falls diese falsch sind erklären könntet, wie ihr das Ganze berechnet habt.
LG
Wie kommst du bei einer Dichte, die nur auf der rechten Halbachse nicht verschwindet, auf den Erwartungswert Null?
Warte ich hatte einen Rechenfehler, bin mir jetzt nicht sicher ob das stimmt, aber hätte ich es nach meinem Weg richtig gerechnet würde 1 rauskommen. Kann das stimmen?
1 Antwort
Den Erwartungswert einer Stetigen Zufallsvariable mit Dichte f erhält man, indem man x*f(x) über die Reellen Zahlen Integriert.
In diesem Fall ist der Erwartungswert gleich dem Integral von x*e^(-x) von 0 bis unendlich (da die Dichte von -unendlich bis 0 gleich 0 ist)
Die Stammfunktion davon ist -(x+1)e^(-x)
-(x+1)e^(-x) geht gegen 0 wenn x gegen unendlich geht (e^-x geht schneller gegen 0 als (X+1) gegen unendlich) somit ist der Erwartungswert gleich 0-(0+1)*e^(-0)=1
(Nutze alternativ partielle Integration um das Integral zu bestimmen)
Nun die Standartabweichung:
Dafür brauchst du zuerst die Varianz, die durch E(X^2)-E(X)^2 berechnet werden kann, E(X)=1, wie schon berechnet.
E(X^2) ist das Integral von x^2*f(x) über die reellen Zahlen, also hier das Integral von x^2e^(-x) von 0 bis unendlich
Ich überspringe Mal die Rechnung. Aber es wird dann 2 rauskommen.
Somit ist die Varianz gleich 2-1^2=1, die Standartabweichung ist die Wurzel der Varianz, also auch 1.
Wow danke für die gute schelle Erklärung, bin draufgekommen, dass ich unabsichtlich beim Erwartungswert einen kleinen Fehler hatte, sonst hätte sogar alles gepasst. Aber jetzt weiß ich ganz sicher wie ich das immer machen sollte, danke👍🏻