mehrdimensionale Analysis, Methode von Lagrange, minimalen Materialverbrauch berechnen?
Hallo,
ich beschäftige mich zurzeit mit der mehrdimensionalen Analysis und komme bei folgender Aufgabe nicht wirklich voran:
Die Aufgabe sieht so aus:
Man hat einen Zylinder mit dem Radius r und der Höhe h mit oben aufgesetzter halbkugel mit gleichem Radius r. Die halbkugel sitzt symmetrisch auf dem Zylinder.
Das Gesamtvolumen ist 0,5 Liter.
Man soll nun mit der Methode von Lagrange Radius und Höhe so bestimmen, dass der Materialverbrauch, also Oberfläche des Trinkgefäßes, minimal wird.
Habe nicht wirklich eine Ahnung von der Lagrange Methode und wollte deshalb fragen ob mir jemand einen Ansatz zum Lösen der Aufgabe geben Könnte.
Vielen Dank schonmal für alle Antworten :)
3 Antworten
In dem Video ist die Lagrange Methode super erklärt:
https://www.youtube.com/watch?v=RnlZ-kwUL1E
Du musst also eine Gleichung für das Gesamtvolumen aufstellen und als Nebenbedingung V=0,5l
Hallo,
der Ansatz ist folgender:
Du addierst zu der Funktion, deren Extremwert gesucht wird - hier ist es die Funktion der Oberfläche des Gefäßes - die impliziten Funktion der Nebenbedingung, die mit einem Faktor lambda multipliziert wurde.
Implzit bedeutet, daß die Nebenbedingung so formuliert wird, daß eine Seited er Gleichung Null ergibt.
Hier soll das Volumen 0,5 sein.
Volumen Zylinder plus Halbkugel ist pi*r²*h+(2/3)pi*r³
Implizit: pi*r²*h+(2/3)pi*r³-0,5=0
Da dieser Term Null ergibt, ergibt auch lambda mal diesem Term Null.
Du darfst also zur Oberflächenformel dieses Produkt addieren, ohne irgendetwas zu verändern.
Du erhältst als Zielfunktion
Phi (r;h)=pi*r²+2*pi*r*h+2*pi*r²+lambda*(pi*r²*h+(2/3)pi*r³-0,5)
Die leitest Du partiell nach r, nach h und nach lambda ab, setzt diese drei Ableitungen auf Null und erhältst so ein Gleichungssystem, mit dem Du r und h (und auch lambda, dessen Wert Du allerdings nicht brauchst) berechnen kannst.
Zur Kontrolle: r=h=3.Wurzel (3/(10pi)).
Herzliche Grüße,
Willy
Die Hauptarbeit besteht im Berechnen der partiellen Ableitungen und im Lösen des Gleichungssystems. Da hat er noch genug zu tun.
Die Methode ist an zig-tausenden Stellen beschrieben. Was verstehst du nicht? Hier ist der falsche Ort, um die tausend und erste Beschreibung hinzustellen.
Helfen kann man - lernen musst du es aber schon selbst.
Ein bisschen Arbeit hättest du dem Fragesteller auch lassen können. So lernt er nix :-)