[Mathe] Integralrechnung Textaufgabe?
Guten Abend,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe kurz weiterhelfen?
Muss ich hier nur die Fläche im ersten Quadranten der Parabel sowie einmal der grauen Fläche (das kleine Stück oben an der nach unten geöffneten Parabel) berechnen und dann das Verhältnis berechnen? Oder muss ich von einer runden Wurfscheibe ausgehen und alle Werte *2 multiplizieren?
Es ist ja die Rede von einem Parabelstück, dass um die x-Achse rotiert. Dann müsste es ja auch nach unten rotieren?
5 Antworten
Oder muss ich von einer runden Wurfscheibe ausgehen und alle Werte *2 multiplizieren?
Beim Verhältnis ist das völlig egal.
a/b= 2a/2b
Habs mal schnell durchgerechnet und als Verhältnis 1/31,75 rausgekriegt.
WoW vielen Dank für deine Mühe!!! 🤓
Bin gleich erst fertig in ein paar Minuten 🙋♂️
Das ist das selbe Ergebnis, nur anders ausgedrückt. 1/31,75 = 0,03149
Wie hast du die Aufgabe so schnell innerhalb von 10 Minuten ausgerechnet? 😅
Machst du das am PC?
Im Kopf? Aber du hast doch was beim Rechnen aufgeschrieben?
Im Kopf könnte ich niemals eine Gleichung lösen um die Nullstellen/Schnittpunkte zu bestimmen
Kleiner Scherz am Rande.
Ich schreibe nur den Ansatz und die Umformung hin. Die pq-Formel und die bestimmten Integrale lasse ich durch den fleißigen Idioten auf meinem Tisch ausrechnen.
Es gibt bestimmt Menschen, die sowas im Kopf ausrechnen können. Im Fernsehen (schaue vielleicht alle paar Monate mal Fernsehen, schaue nur Nachrichten am Handy an) sieht man ja oft in manchen Sendungen wie klein gegen groß Leute, die z.B. im Kopf mehrere hundert zahlen zusammen addieren.
Es hätte ja sein können, dass du sowas auch kannst 😅
Ich habe gerade unter dieser Frage 2 separate Antworten mit zwei Fragen zu zwei verschiedenen Aufgaben gepostet. 😬 Das waren dann alle meine unklaren Fragen, die sich aus 2 ganzen Aufgabenbereichen aus dem Buch ergeben haben 😅
Vielleicht hast du ja später Lust, sie dir anzusehen😀
(Aufgabe)
Diese Aufgabe hier bereitet mir noch große Schwierigkeiten. Zuerst würde ich sagen, dass man die zur y-Achse negative symmetrische Funktion 4. Grades aufstellen muss. Jedoch steht noch in der Aufgabe, dass man begründen soll, ob die Behauptungen wahr oder falsch sind. Wenn ich das nur rechnerisch mache, ist das ja keine Begründung, oder?
Bei (1) habe ich versucht, zuerst die Funktionsgleichung aufzustellen, um dann im Folgenden die Steigung durch einsetzen von x = - 2 in f‘(x) zu bestimmen:
Zuerst würde ich sagen, dass man die zur y-Achse negative symmetrische Funktion 4. Grades aufstellen muss.
Das ist korrekt.
Du brauchst also 3 Informationen, um a, bund c zu ermitteln. f(0) = 0 bringt aber nichts, denn jede zur y-Achse symmetrische Funktion hat einen Extrempunkt bei x = 0. Das ist praktisch schon in den geraden Potenzen enthalten und führt zu 0 = 0.
Dir bleibt nichts anderes übrig, als eine weitere Information aus der Grafik herauszuziehen. Leider wird kein weiterer klrare Punkt von der Kurve geschnitten. Man könnte f(1) ≈ 0,95 nehmmen, aber sicherer ist es immer, ein weiteres Extremum zu nehmen. Da lese ich ab: f(2,82) = 2,275
Ansatz:
f(x) = ax4 + bx^2 + c
f(0) = 0,5 => c = 0,5
f(4) = 0
256a + 16b + 0,5 = 0 (1)
f(2,82) = 2,275
63,24a + 7,95b + 0,5 = 2,275
7,95b = 1,775 - 63,24a
b = 0,223 - 7,95a
in (1) eingesetzt:
256a + 16(0,223 - 7,95a) + 0,5 = 0
256 a - 127,28 a = -0,5 - 3,57
128,72 a = -4,07
a = -0,0316
b = 0,223 - 7,95a = 0,47
f(x) = -0,0316 x^4 + 0,47 x^2 + 0,5
f'(x) = -0,1264 x^3 + 0,94 x
aaaaber, die ganze Rechnerei war eine reine Fingerübung, denn die ist zur Beantwortung der Fragen gar nicht nötig.
1)
Die Aussage ist falsch.
Begründung: Durch Anhalten des Geodreiecks an die Kurve ist lkeicht abzulesen, dass die Steigung bei x = -2 ungefähr -1 beträgt
2)
Die Aussage ist falsch.
Die Ableitung der Stammfunktion F(x) ist f(x) und f(0) müsste = 0 sein, ist aber = 0,5
3)
Die Aussage ist richtig.
Jedes Kästchen entspricht 1 FE. Unter der Kurve sind mindestens 6 ganze Kästchen und noch jede Menge angeschnitter Kästchen zusätzlich.
4)
Die Aussage ist falsch.
∫f'(x) dx = f(x).
f(4) - f(0) = 0 - 0,5 = -0,5
2)
Die Aussage ist falsch.
Die Ableitung der Stammfunktion F(x) ist f(x) und f(0) müsste = 0 sein, ist aber = 0,5
Die Antwort verstehe ich noch nicht so.
Kann ich nicht einfach schreiben, dass Extremstellen zu Wendestellen werden und Wendestellen keine Waagerechte Tangente haben?
Wir haben folgendes als Tipp bekommen mal im Unterricht:
NEW |F(x)
…NEW |f(x)
(N = Nullstelle, E = Extremstelle, W = Wendestelle) (Man kann hier schauen, dass z.B. eine Wendestelle in der abgeleiteten Funktion zu einer Extremstelle wird und umgekehrt,…)
Magst du mir noch bei der (3) helfen, die hast du übersprungen 😅
4)
Die Aussage ist falsch.
∫f'(x) dx = f(x).
f(4) - f(0) = 0 - 0,5 = -0,5
Das verstehe ich noch nicht. Wie bist du auf f(4) - f(0) gekommen?
In einen Integral steht doch nie die abgeleitete Funktion? 🤔
Wir haben folgendes als Tipp bekommen mal im Unterricht:
NEW |F(x)
…NEW |f(x)
Der Tipp ist nicht schlecht. Wenden wir ihn direkt an auf 2) und kommen damit zu derselben Aussage wie meine:
Das Schaubild der Stammfunktion, also F(x) hat bei x = 0 eine waagrechte Tangente, also eine Extremstelle.
Dann müsste f(x) an dieser Stelle, also bei x = 0 eine Nullstelle haben. Hat es aber nicht, sondern f(0) = 0,5.
Kann ich nicht einfach schreiben, dass Extremstellen zu Wendestellen
Nur wenn man von unten f nach oben zu F geht. Hier ist es aber umgekehrt. Wir gehen von der Stammfunktion F(x) auf deren Ableitung, also zu f(x).
3) Wenn F(x) 3 Wendestellen haben soll, haben soll, muss deren 1. Ableitung 3 Extremstellen haben, denn dann hat F' '(x) = f'(x) 3 Nullstellen. Das ist hier der Fall. f(x) hat zwei Hoch- und einen Tiefpunkt. Also ist die Aussage wahr.
zu 5)
Das verstehe ich noch nicht. Wie bist du auf f(4) - f(0) gekommen?
Da steht
∫f'(x) dx
Integral und Ableitung sind Umkehrfunktionen und heben sich gegeseitig auf.
Also ist
∫f'(x) dx = f(x)
und das Integral von 0 bis 4 ist dann f(4) - f(0)
Vielen Dank 🙏 , schaue ich mir nachher direkt an und schreibe jetzt meine Materialgestützte Erörterung zu Ende 💚
3) Wenn F(x) 3 Wendestellen haben soll, haben soll, muss deren 1. Ableitung 3 Extremstellen haben, denn dann hat F' '(x) = f'(x) 3 Nullstellen. Das ist hier der Fall. f(x) hat zwei Hoch- und einen Tiefpunkt. Also ist die Aussage wahr.
In der Aufgabe stand ja „Jede Stammfunktion von f hat drei Wendestellen.“. Aber wird eine Funktion 4. Grades nicht zu 6. Grades, dann zu 7. Grades,…? Gibt es dann nicht immer mehr Wendestellen? 🤔
4)
Die Aussage ist falsch.
∫f'(x) dx = f(x).
f(4) - f(0) = 0 - 0,5 = -0,5
Gegeben ist ja der Bereich von x = 0 bis x = 4. wie bist du dann darauf gekommen, dass man zwei mal f einsetzt und voneinander abzieht? Normal setzt man doch eine Funktion ein und nicht f(4) z.B.. 🤔
Und ich habe hier noch eine 4. Ergänzung (separate Antwort auf diese Frage) gepostet. Vielleicht magst du sie dir ja nachher ansehen 😃
https://www.gutefrage.net/frage/mathe-integralrechnung-textaufgabe#answer-449486165
In der Aufgabe stand ja „Jede Stammfunktion von f hat drei Wendestellen.“. Aber wird eine Funktion 4. Grades nicht zu 6. Grades, dann zu 7. Grades,…? Gibt es dann nicht immer mehr Wendestellen?
Da ist prinzipiell was dran. Hier ist f(x) 4. Grades und hat 2 Wendestellen. F(x) ist dann 5. Grades und hat 3 Wendestellen. Generell kann man sagen: Maximale Zahl an Wendestellen = Grad - 2
Bei dieser Aufgabe, wo man nicht rechnen, sondern begründen muss, gehts vor allem um das Springen zwischen den Ebenen von F(x), f(x), f'(x) und f' '(x) und deren jeweiligen Bedeutungen für die anderen Ebenen.
Wendestellen liegen dann vor, wenn die 2. Ableitung = 0 ist.
Wenn F(x) drei Wendestellen haben soll, muss F' '(x) drei Nullstellen haben.
Nun ist aber F' '(x) = f ' (x). Nullstellen bei f'(x) bedeuten aber Extremstellen eine Ebene höher, also bei f(x).
Genau das stellt auch deine Merkhilfe
NEW |F(x)
…NEW |f(x)
.... NE (f'(x)
........N (f' '(x)
dar.
dar. Wendestellen von F(x) bedeuten Extremstellen bei f(x) und Nullstellen bei f'(x)
Gegeben ist ja der Bereich von x = 0 bis x = 4. wie bist du dann darauf gekommen, dass man zwei mal f einsetzt und voneinander abzieht? Normal setzt man doch eine Funktion ein und nicht f(4) z.B.
Hierbei Kommentaren zu Antworten kann man keine Bilder einsetzen und auch der Editor ist stark beschränkt. Also muss man sich anders behelfen.
(von 0 bis 4) ∫ f'(x) dx = (von 0 bis 4) [f(x)] = f(4) - f(0)
Aber ist die Aussage dann bei 3) falsch, denn dort steht ja JEDE Stammfunktion f hat 3 Wendestellen?
Und JEDE heißt doch, dass auch die 100. Stammfunktion 3 Wendestellen hat (also im Bezug auf das Schaubild bei Nr. 6),oder?
Hierbei Kommentaren zu Antworten kann man keine Bilder einsetzen und auch der Editor ist stark beschränkt. Also muss man sich anders behelfen.
(von 0 bis 4) ∫ f'(x) dx = (von 0 bis 4) [f(x)] = f(4) - f(0)
Hier habe ich irgendwie immer noch nicht verstanden, warum man f(x) einsetzen kann in das Integral und dann einfach die y-Werte danach verrechnet. Normal setzt man ja eine Funktion mit x^(…),… ein 🤔
Magst du mir das vielleicht nochmal erklären?
Und JEDE heißt doch, dass auch die 100. Stammfunktion 3 Wendestellen hat (also im Bezug auf das Schaubild bei Nr. 6),oder?
So ist es. Die Stammfunktionen F(x) unterscheiden sich alle nur durch das unterschiedlich große C, das man beim allgemeinen Integral ergänzen muss. Wenn man F(x) ableitet, entfällt das C aber wieder, sodass alle Stammfunktionen F(x) dieselbe Ableitung f(x) haben. f(x) abgeleitet ergibt f'(x) unddas hat 3 Nullstelllen, weil f(x) drei Extremstellen hat. Alle Nullstellen von f' '(x) sind aber Wendestellen von F(x).
Hier habe ich irgendwie immer noch nicht verstanden, warum man f(x) einsetzen kann in das Integral
Was ergibt denn ∫ f'(x) dx?
Und wie berechnet man dann das bestimmte Integral von ∫ f'(x) dx von -0 bis 4?
Mach mir mal nen Vorschlag.
Die (3) habe ich leider immer noch nicht verstanden… 🤯
Was ergibt denn ∫ f'(x) dx?
Und wie berechnet man dann das bestimmte Integral von ∫ f'(x) dx von -0 bis 4?
Mach mir mal nen Vorschlag.
Zu Aufgabe (5):
Normal würde ich die Funktionsgleichung aufstellen und dann z.B., wenn die Funktionsgleichung folgendes wäre, den hinteren Teil hinter f(x) einsetzen in das integral und als Grenzen.
z.B. f(x) = - 3x^(4) + 2x^(3)
(ausgedacht)
Dann würde ich das ins integral schreiben und dann aufleimen in der eckigen Klammer. Aber hier steht ja, dass man die abgeleitete Funktion ins integral setzen soll. Dies bedeutet meiner Meinung nach, dass ich die Funktion, also „-3x^(4) + 2x^(3)“ einfach kann in die eckige Klammer, da sich ja aufleimen und die abgeleitete Funktion aufheben. Aber hier hat man ja keinen Funktionsterm und soll diesen ja auch nicht aufstellen, daher verstehe ich es noch nicht.
z.B. f(x) = - 3x^(4) + 2x^(3)
Nehmen wir an, hier soll das bestimmte Integral von 0 bis 4 gebildet werden, also:
(0 bis 4) ∫f(x) dx
Dann bildet man F(x) durch aufleiten, was
(0 bis 4) [F(x)] ergibt und rechnet dann F(4) - F(0). Soweit einverstanden?
Nun solll aber gebildet werden:
(0 bis 4) ∫f ' (x) dx
Die Stammfunktion von f ' (x) ist f(x). In der eckigen Klammer würde also f(x) stehen. Klar?
Also muss man nun rechnen:
(0 bis 4 )∫f ' (x) dx = (0 bis 4) [f(x)] = f(4) - f(0)
Man braucht hier deshalb keinen Funktionsterm, weil das Schaubild von f(x) gegeben ist und man die Funktionswerte im Schaubild direkt nachgucken kann. Dementsprechend ist f(4) = 0 und f(0) = 0,5
Dementsprechend ist also:
(0 bis 4 )∫f ' (x) dx = (0 bis 4) [f(x)] = f(4) - f(0) = 0 - 0,5 = -0,5
Verstanden!!! <3 Zu 100% 😃💚
Nur bei (3) stehe ich noch auf dem Schlauch. Hab hier noch nicht verstanden, warum jede Stammfunktion 3 Wendestellen hat. 🤔
Nur bei (3) stehe ich noch auf dem Schlauch. Hab hier noch nicht verstanden, warum jede Stammfunktion 3 Wendestellen hat. 🤔
Bei der Aufgabe springt man wild zwischen den Ebenen F(x), f(x) und f'(x) hin und her.
Erste Überlegung:
Die Stammfunktionen von f(x) sind F(x) + c
F(x) hat dann Wendestellen, wenn F ' ' (x) = 0 ist.
Nun ist aber auch F ' ' (x) = f ' (x). Soweit einverstanden?
Zweite Überlegung:
f ' (x) ist die erste Ableitung von f(x). f ' (x) wird an den Extremstellen von f(x) zu 0.
Da f(x) 3 Extremstellen hat, hat f ' (x) 3 Nullstellen. Damit hat auch F ' ' (x) = f ' (x) drei Nullstellen. Wenn aber F ' ' (x) drei Nullstelllen hat, dann hat F(x) drei Wendepunkte.
Nochmal von ganz oben nach unten und wieder zurück.:
Jede Wendestelle von F(x) führt zu einer Extremstelle von F ' (x) = f(x).
Jede Extremstelle von f(x) führt zu einer Nullstelle von f ' (x).
Anders formuliert:
Anzahl Wendestellen von F(x) = Anzahl von Extremstellen von f(x) = Anzahl von Nullstellen bei f ' (x).
Aus der Anzahl der Extremstellen von f(x) schließt man auf die Anzahl der Nullstellen von f ' (x) und aus der Anzahl der Nullstelllen von f ' (x) schließt man auf die Anzahl der Wendestellen von F(x)
Bekomme es irgendwie nicht verstanden 🤔
Aber hat dann auch die 100. Stammfunktion 3 Wendestellen? Ich verstehe es irgendwie noch nicht.
Denn wenn ich ableite erhalte ich irgendwann ja eine gerade, die Wendestellen werden also ja weniger. Wie kann es dann sein, dass die Wendestellen nicht mehr werden, wenn man aufleitet? 🤔 🤯
Aber hat dann auch die 100. Stammfunktion 3 Wendestellen? Ich verstehe es irgendwie noch nicht.
Die 100 Stammfunktionen unterscheiden sich lediglich durch die Integrationskonstante c. Die fällt aber schon bei der ersten Ableitung weg. Die Integrationskonstante bedeutet nur, dass F(x) rauf und runtergeschoben wird. Am Grad der Funktion und an der Form der Kurve ändert das gar nichts. Damit ändert die auch nichts an den Wendestellen.
Denn wenn ich ableite erhalte ich irgendwann ja eine gerade, die Wendestellen werden also ja weniger.
Das ist insofern richtig, dass F(x) 3 Wendestellen hat, F' (x) = f(x) noch zwei Wemdestellen hat, F ' ' (x) = f '(x) nur noch eine Wendestelle hat und F ' ' ' (x) = f ' ' (x) gar keine Wendestellle mehr hat. Das interessiert hier aber nicht, denn es ist nur nach der Anzahl der Wendestellen von F(x) gefragt.
Die 100 Stammfunktionen unterscheiden sich lediglich durch die Integrationskonstante c. Die fällt aber schon bei der ersten Ableitung weg. Die Integrationskonstante bedeutet nur, dass F(x) rauf und runtergeschoben wird. Am Grad der Funktion und an der Form der Kurve ändert das gar nichts. Damit ändert die auch nichts an den Wendestellen.
Aber die Exponenten werden doch immer höher beim aufleiten.
sin(x) wird ja zum Beispiel zu -cos(x) beim aufleiten. Die Wendestellen werden doch immer mehr, wenn ich aufleite, oder?
Wieso ändert sich nur das Integralkonstante beim aufleiten? Die Exponenten werden doch immer höher und die Funktion nimmt eine andere Form an? 🤔
Das interessiert hier aber nicht, denn es ist nur nach der Anzahl der Wendestellen von F(x) gefragt.
Aber es ist doch gefragt, ob jede Stammfunktion 3 Wendestellen hat. Dann wäre doch eine Stammfunktion mit 4 Wendestellen nicht zutreffend, oder? Nehmen die Wendestellen nicht zu, wenn man mehrmals aufleitet?
f(x)
F1(x)
F2(x)
F3(x)
….
Ich verstehe irgendwie nichts davon 🤯
Ich verstehe irgendwie nichts davon
Kein Wunder, du bist auf dem völlig falschen Pfad unterwegs. 100 Stammfunktionen bedeuten nicht, dass 100 mal aufgeleitet wird, sondern dass 100mal an c rumgespielt wird.
Beispiel:
f(x) = 2x
F(x) = x^2 + c
F1(x) = x^2 - 5
F2(x) = x^2 + 3
F3(x) = x^2 - 1
F4(x) = x^2 + 100
usw.
Alle Stammfunktionen abgeleitet ergeben wieder F'(x) = f(x) = 2x.
Durch das Variieren von c ändert sich nichts an der Anzahl der Wendestellen oder Extremstellen von F(x). Die Anzahl der Nullstellen von F(x) kann sich dadurch aber ändern.
Ohjeh, gut, dass es jetzt in die richtige Richtung geht 😅
Naja, ich verstehe trotzdem immer noch nicht so viel… Um ehrlich zu sein, gar nichts 🤔
Ich dachte bzw. gehe immer noch davon aus, dass eine Stammfunktion die Aufleitung ist. Das geht aus meinen bereits gerechneten Aufgaben für mich so hervor.
Hier dafür ein paar Aufgaben aus dem Buch, die ich früher gerechnet habe:
https://www.dropbox.com/sh/rrzavxqxolbcp48/AAA615dSGV6zD_o1iCvY8kN5a?dl=0
Ich dachte bzw. gehe immer noch davon aus, dass eine Stammfunktion die Aufleitung ist. Das geht aus meinen bereits gerechneten Aufgaben für mich so hervor.
So ist es und ich hoffe, nirgends einen anderen Eindruck hinterlassen zu haben.
Die Stammfunktion ist das unbestimmte Integral ohne obere und untere Grenze, dafür aber mit der Integrationskonstanten c.
Das bestimmt Integral hat eine obere und untere Grenze, dafür aber keine Integrationskonstante c.
Aber da werden ja auch die Exponenten höher. Warum werden die Wendestellen dann nicht mehr als 3, wenn man die Funktion aufleitet?
f(x) ist eine Funktion 4. Grades und hat 2 Wendestellen.
Folgende Regel zu der maximalen Anzahl (weniger kannns immer sein):
Anzahl Nullstellen = Grad der Funktion
Anzahl Extremstellen = Grad - 1
Anzahl Wendestelllen= Grad - 2
Das unbestimmte Integral bzw. alle Stammfunktionen von f(x), also F(x) sind Funktionen 5. Grades und haben 3 Wendestellen.
F(x) ist 5. Grades und hat 3 Wendestellen
f(x) ist 4. Grades und hat 3 Extremstellen
f ' (x) ist 3. Grades und hat 3 Nullstellen
Warum sind alle Stammfunktionen von f(x) 5. Grades?
Hahahahah ich glaube ich denke total falsch hier die ganze Zeit!!!!
Ich dachte, alle Stammfunktionen heißt auch, dass man unendlich oft aufleiten kann, also x^(unendlich) und es immer noch nur drei Wendestellen geben kann.
ABER hier ist dann denke ich mal mit ALLE Stammfunktionen nicht das unendliche aufleiten gemeint, sondern einmal aufleiten mit der Konstante „+ c“ am Ende, die ja nichts an der Anzahl der Wendepunkte verändert, sondern lediglich die Höhe bzw. die Tiefe der Funktion.
Hahahahah ich glaube ich denke total falsch hier die ganze Zeit!!!!
Hab ich schon längst gemerkt. ;-)
ABER hier ist dann denke ich mal mit ALLE Stammfunktionen nicht das unendliche aufleiten gemeint, sondern einmal aufleiten mit der Konstante „+ c“ am Ende, die ja nichts an der Anzahl der Wendepunkte verändert, sondern lediglich die Höhe bzw. die Tiefe der Funktion.
Meine Rede seit Kriegsbeginn.
Hier bei dieser Aufgabe habe ich den Aufgabenteil a) verstanden und auch richtig berechnet. Aber den Aufgabenteil b) verstehe ich nicht, denn hier muss der Schnittpunkt durch gleichsetzen der Funktionen g und K berechnet werden. Das gleichsetzen dieser beiden Funktionen verstehe ich jedoch nicht. Vielleicht hast du ja Lust, mit das zu zeigen, damit ich solche Aufgaben in Zukunft ohne Probleme lösen kann 😃
(Aufgabe)
(Lösung)
(Berechnungen, nur b) ist unklar)
Aufgabe a) hättest du auch einfacher und schneller haben können:
Berechnung der Fläche zwischen K und der x-Achse:
deine Berechnung ist korrekt: A1 = 4 FE
Dann aber:
Die beiden Strecken bilden ein Dreieck mit der Grundseite π und der Höhe h = f(1)
f(1) = 2sin1 = 1,683
Damit beträgt die Fläche des Dreiecks A2:
A2 = 1/2 * a * h = 1/2 * π * 1,683 = 2,644
Die eingeschlossene Fläche A beträgt damit:
A = A1 - A2 = 4 - 2,644 = 1,356
Antwort: Die Behauptung ist falsch.
b)
Hier rechnest du auch zu kompliziert. Das geht vom Ansatz her viel einfacher:
Wenn man F(x) - G(x) rechnet, hat die Fläche links vom Schnittpunkt einen positiven Wert und rechts davon einen negativen. Sollten beide gleich groß sein, müssen die sich gegenseitig aufheben, wenn man über das gesamte Intervall hinwegintegriert und das Integral muss daher 0 ergeben.
A(x) =(von 0 bis π) ∫f(x) - g(x) dx =(von 0 bis π) ∫2sin(x) - 8/π^2 * x dx =
(von 0 bis π)[ -2cos(x) - 4/π^2 * x^2]
= [ -2cos(π) - 4/π^2 * π^2] - [ -2cos(0) - 4/π^2 * 0^2]
= [-2(-1) - 4] - [-2] = 2 - 4 + 2 = 0
Ergebnis: Da das Ergebnis = 0 ist, sind beide Flächen gleich groß.
Hier nochmal der Apell, nicht nur stur die eingefahrenen Wege zu beschreiten, sondern vorher zu überlegen, wie man am einfachsten zum Ergebnis kommen kann.
Du hilfst mir unglaublich weiter damit! Alleine kann man sich sowas nicht gut beibringen. Und unser Mathe Vertretungslehrer (Mathelehrer in Elternzeit) hat noch nichtmal bei diesen Aufgaben begonnen (ich habe 2 Aufgabengebiete zuhause nun durchgerechnet). 💚
Aus der Aufgabe 7 a) wurden aus 3 Seiten Rechnung eine Seite Rechnung. Behalte aber beide Rechnungen, um nicht zu vergessen, dass man erst nachdenken sollte, ob es eine einfache Methode gibt.
Aufgabe 7b) habe ich auch verstanden jetzt 🤩
Ich habe gerade noch einmal eine 3. Ergänzung (Antwort auf diese Frage) mit einer Frage zu einer anderen Aufgabe gepostet. Vielleicht magst du sie dir ja nachher anschauen :-)
Bei dieser Aufgabe habe ich noch eine kleine Ungewissheit. a) und c) habe ich richtig berechnet und die Lösung stimmt mit dem Lösungsbuch überein.
Aber bei b) ist die Lösung 8 FE, die 8 FE habe ich aber ein Schritt vor meiner Lösung stehen.
In der Aufgabe steht ja bei b), dass man den Inhalt berechnen soll, der im 1. und 2. Feld von K und der Geraden g eingeschlossen wird. Aber dann ist der Inhalt doch eigentlich 16 FE, denn es werden zwei verschiedene Flächeninhalte im 1. und dem 2. Feld eingeschlossen, welche jeweils 8 FE ergeben und zusammen 16 FE ergeben.
Ich dachte, dass ich die rote und die gelbe markierte Fläche berechnen muss:
(Lösung)
(Berechnungen, nur b) ist unklar)
In der Lösung fehlt wohl eine Zeile. Dort ist nur Integral von -2 bis 2 gleich 8 angegeben, was stimmt. Was fehlt ist Integral von 2 bis 6. Immerhin haben sie die x = 6 als Schnittpunkt genannt.
Also denkst du, dass meine Rechnung so stimmt?
Ja, solange du gut begründen kannst, dass im 2. Feld der Flächeninhalt gleich groß sein muss wie im ersten Feld. Einfach den Flächeninhalt mit 2 zu multiplizieren ist gewagt, aber ob es falsch ist, keine Ahnung. Der sichere Weg wäre gewesen wieder klassisch von 2 bis 6 zu integrieren.
Da ist die Aufgabe in der Tat missverständlich formuliert. Gemeint ist laut Musterlösung wohl nur die Fläche zwischen den beiden gegebenen Schnittpunkte.
Der Aufgabenstelller meinte wohl, mit "im 1. und 2. Feld" die Fläche, die Teile in den beiden Quadranten hat.
Die Fragestellung kann man aber in der Tat auch so interpretieren, wie du es gemacht hast. Da du aber ja die erste Interpretation vollständig und richtig durchgerechnet hast, sollte es auch die volle Punktzahl geben.
Aufgabe 11
Hier würde ich zuerst die Funktionsgleichung der Parabel aufstellen, hierfür benötige ich 3 verschiedene Informationen.
Nun habe ich die Funktion der Parabel aufgestellt mit der Funktionsgleichung:
f(x) = 1/2 x^(2) -2x + 1,5
Wieso hier die Himmelsrichtungen angegeben sind, weiß ich nicht so wirklich. Zudem ist ja auch angegeben, dass 1 LE 1km entspricht. Diese Information wäre ja nicht gegeben, wenn ich den Flächeninhalt berechnen muss, oder? Muss ich hier ganz normal den Flächeninhalt berechnen?
ansonsten würde ich ein integral von 1 bis 3 aufstellen und darin g(x) von f(x) abziehen, um den Flächeninhalt der Seefläche zu bestimmen.
Zusätzliche Frage:
Bei einer zur y-Achse symmetrischen Funktion darf ich ja zum aufstellen nicht den Punkt auf der x-Achse nehmen. Ist das bei der Punktsymmetrie auch so?
Sind Funktionen mit nur ungeraden Exponenten immer punktsymmetrisch zum Ursprung, oder kann sich die Funktion beliebig irgendwo befinden, z.B. Punktsymmetrisch zum Punkt P(2/4)?
Muss man bei symmetrischen/punktsymmetrischen Funktionen sonst noch etwas zum aufstellen der Funktionsgleichungen beachten?
Aufgabe 12
Muss ich hier nur das Vorgehen zur Bestimmung des Flächeninhaltes angeben oder auch den Flächeninhalt berechnen? Solche Fragestellungen könnten ja auch in der Prüfung kommen.
Muss ich hier beim Vorgehen auch schreiben, wie man die Funktionen aufstellt? Denn das könnte ich für Kf nicht sagen.
Ansonsten würde ich schreiben:
- Flächeninhalt mit Integral zwischen f(x) und der x-Achse bestimmen, zwischen x = 0 und x = 2. (A2)
- g(x) = 0 setzen, um die Nullstellen zu bestimmen
- Die Nullstelle mit dem positiven x-Wert (ich nenne sie mal x = u) als untere Grenze des neuen Integrals nehmen
- Flächeninhalt mit Integral zwischen g(x) und der x-Achse bestimmen, zwischen x = u und x = 2 (A3)
- A1 = A2 - A3
f(x) = 1/2 x^(2) -2x + 1,5
Das ist falsch.
f(x) ist doch schon gegeben mit f(x) = -x^3 + 4x^2 - 3x
Der Graph dazu ist allerdings nicht eingezeichnet. Im Bild steht ausdrücklich, das sei der Graph von g (nicht von f!!!!). Der Graph von g ist gegeben, dafür aber nicht die Funktionsgleichung.
Aus dem Text geht hervor, dass das Koordinatensystem wie eine Karte zu verstehen ist: oben Nord, rechts Ost, unten Süden, links West.
Aus dem Text ergibt sich ebenfalls, dass der Graph von f über dem von g verläuft und dass sich beide Graphen bei x1 = 1 und x2 = 3 schneiden. Die Fläche zwischen beiden Graphen ist der See.
Also muss man rechnen:
A = (1 bis 3) ∫ f(x) - g(x) dx = 28/3
Mit 1 FE = 1 km^2 ergibt das eine Fläche von ungefähr 9,33 km^2
Bei einer zur y-Achse symmetrischen Funktion darf ich ja zum aufstellen nicht den Punkt auf der x-Achse nehmen.
Das ist falsch. Den Punkt darfst du sehr wohl nehmen, denn dessen y-Wert ergibt das Absolutglied, als bei 4. Grades das c.
Du darfst nur nicht die Eigenschaft verwenden, dass das ein Extrempunkt ist, dass also f'(0) = 0 ist. Denn jede achsensymmetrische Funktion muss bei x = 0 eine Extremstelle haben. Anders geht das nicht.
Bei Punktsymmetrie ist es genau umgekehrt. Da darfst du nicht verwenden f(0) = 0 und f ' ' (0) = 0, weil jede punktsymmetrische Funktion durch den Ursprung gehen muss und dort einen Wendepunkt hat. Da kannst du aber die Steigung im Ursprung verwenden, falls sie bekannt ist.
Noch eine Bemerkung hierzu:
oder kann sich die Funktion beliebig irgendwo befinden, z.B. Punktsymmetrisch zum Punkt P(2/4)?
Für dich ist das jetzt keine Punktsymmetrie. Das kann man aber durch eine Koordinatentransformation zu einer punktsymmetrischen Funktion machen, indem man ein neues Koordinatesystem durch den Punkt P liegt. Transformationen jeglicher Art wie Koordinatentransformation, Lorenz-Transformation und viele andere Transformationen sind Mathestoff an der Hochschule/Uni. Damit musst du dich jetzt noch nicht belasten.
Durch diverse Kooordinaten- und andereTransformationen kann man schwierige Probleme deutlich vereinfachen, die vereinfacht durchrechnen und am Schluss das Ergebnis zurücktransformieren. So hat Einstein seine Relativitätstheorie hergeleitet und der Satz "alles ist relativ" bezog sich ursprünglich auf die Wahl des Koordinatensystems, denn alles ist relativ zum gewählten Koordinatensystem.
Zu Aufgabe 12
Muss ich hier nur das Vorgehen zur Bestimmung des Flächeninhaltes angeben oder auch den Flächeninhalt berechnen?
Ich verstehe die Aufgabe so, dass du die mit deinem Lösungsvorschlag vollständig und korrekt beantwortet hast.
Und ich habe gerade folgendes gerechnet (der lange Strich stellt einen Bruchstrich dar):
(A2 * 100) / A1
18/25 * 100
_________________ = 3,15%
6859/300
Antwort:
Der Anteil der Stahlkante beträgt von der Gesamtschnittfläche 3,15%.