Limes x gegen unendlich von sqrt(x^2 + x) - x?

Hallo, ich versuche davon den Grenzwert zu bestimmen. Mit dem 3. Binom komme ich auf 1/2 was auch stimmt, ohne auf 0. Wieso kann man es nicht so machen?

$\lim_{x\ \to\ \infty}\ \sqrt{x^2+x}-x\ =\lim_{x\ \to\ \infty}\ \sqrt{x^2\left(1\ +\ \frac{1}{x}\right)}-\ x$ $\ =\lim_{x\ \to\ \infty}\ x\ \sqrt{1\ +\ \frac{1}{x}}-\ x\ =\ x\ \sqrt{1\ +\ 0}-\ x\ =\ x\ -\ x\ =\ 0$

Comments

[Halbrecht]

wo ist das 3 Binom ?

[codinghelp]

Hab ich hier nicht benutzt, aber wenn ich es tun würde käme 1/2 raus. Oben haben wir dann ja x im Zähler und im Nenner x(die Wurzel + 1) was dann auf 1/2 rausläuft

[Kurax15]

hab neue antwort

[codinghelp]

Ja das meinte ich mit 3. Binom :D So hab ich es auch richtig lösen können. Ich hab mich nur gewundert was an der kürzeren "Lösung" falsch ist ^^

Answer 1

[Quotenbanane]

Weil du nicht getrennt den Limes bilden kannst, sonst kommen paradoxe Sachen heraus.

Beispiel...

$0\ =\lim_{x\rightarrow\infty}\ 0\ =\ \lim_{x\rightarrow\infty}\ x-x\ =\ \infty-x\ =\ \infty$

Du hättest in deinem Beispiel oben also von allen x den Limes bilden müssen, wodurch du mit...

$\lim_{x\rightarrow\infty}\ x\sqrt{1+\frac{1}{x}}-x=\infty\sqrt{1+0}-\infty=\infty-\infty$

dagestanden wärst, was ein undefinierter Ausdruck ist.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik-Studium

Comments

[codinghelp]

Stimmt, danke

Answer 2

[poseidon42]

Du musst beachten, dass nach Taylor gilt:

sqrt(1 + 1/x) = sqrt(1) + 1/(2*sqrt(1)) * (1/x) + O( 1/x^2 )

[ .. Taylorentwicklung erster Ordnung von sqrt(1 + h) für h = 1/x mit Restterm O(1/x^2) zweiter Ordnung ...]

Entsprechend folgt hier also:

x*sqrt(1 + 1/x) - x = x*(1 + 0.5*(1/x) + O(1/x^2)) - x

Und ausmultiplizieren und zusammenfassen damit

x*sqrt(1 + 1/x) - x = 0.5 + O(1/x)

Entsprechend folgt für den Grenzwert für x -> inf hier:

lim(x -> inf){ x*sqrt(1 + 1/x) - x } = lim(x -> inf){ 0.5 + O(1/x) } = 0.5 + 0 = 0.5

Die Lösung lautet damit:

lim(x -> inf){ x*sqrt(1 + 1/x) - x } = 0.5

Answer 3

[gauss58]

lim (x→ ∞) x * √(1 + (1/x)) - x =

lim (x→ ∞) x * (√(1 + (1/x)) - 1) =

Das entspricht einer Multiplikation von "unendlich * Null" und die ist nicht definiert.

siehe:

https://www.youtube.com/watch?v=aBlseassv-g

Answer 4

[Kurax15]

Es gilt

Formel wurde gelöscht -.- geiler Editor

$\sqrt{x^2+x}-x=\frac{\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)}{\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)}=\frac{\left(x^2+x-x^2\right)}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{x}\left(\frac{1}{\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}+1}\right)}\right)$ Der Limes geht also gegen 1/2 (die eine Wurzel im letzten Glied ist zu lang)

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Hab mal 3 Semester Mathe studiert

Comments

[codinghelp]

ja schei*e :D