Komplexe und reelle Wurzel
Unter Wurzel(a) versteht man im allgemeinen per Definition die positive Lösung x der reellen Gleichung
x^2 = a,
also den Hauptwert, und damit z.B. Wurzel(4)=2.
Beim komplexen Wurzelziehen wird dagegen immer größten Wert auf die Mehrdeutigkeit gelegt und die Lösungsmenge enthält alle möglichen Lösungen der oberen Gleichung, also z.B. Wurzel(4) = {-2, 2}
Ich halte das für nicht konsistent, mit dem gleichen Operator einmal den Hauptwert zu bezeichnen und einmal die gesamte Lösungsmenge. Oder was unterscheidet Wurzel(4) von Wurzel(4+0 i) ??
Die Diskussion ging über Wurzelgleichungen und "Scheinlösungen", die keine Scheinlösungen mehr sind, sondern echte, wenn man unter der Wurzel nicht den Hauptwert sondern die Menge aller Wurzeln versteht.
Warum verwendet man also für die Wurzel als Lösungsmenge aller Wurzeln und für den reellen Hauptwert ein und das gleiche Symbol und fängt sich dabei Inkonsistenzen ein? Warum verwendet man nicht zwei verschiedene Symbole?
3 Antworten
Also deine Formulierungen hinken schon im Beginn: Die Lösung der Gleichung x^2=a ist nicht einfach sqrt(a), sondern +/-sqrt(a). Demnach ist der Rest auch nicht ganz konsistent, denn es geht im Allgemeinen aus dem Zusammenhang heraus, welche Lösungen einer Gleichung betrachtet werden. Ist der Imaginärteil einer Zahl =0, so hat man sich nicht mehr mit dem Hauptwert zu beschäftigen (der übrigens aus der Funktionentheorie stammt). Es gibt dann nur noch die Möglichkeiten, dass die Lösung zwei konjugiert komplexe Zahlen sind, zwei reelle Zahlen, oder die Nulllösung. Hat man jedoch eine komplexe Zahl unter der Wurzel stehen, so gibt es im Allgemeinen unendlich viele Wurzeln dieser Zahl (prüfe durch Polarform!). Es gibt nun zwei Möglichkeiten: Entweder eure Diskussion war nicht sehr abgeschlossen oder du hast nicht richtig aufgepasst. Beides ist möglich. Und das mit den verschiedenen Symbolen liegt wieder im Zusammenhang. Es sind ja die gleichen Dinge, und deshalb sind die gleichen Symboliken durchaus angemessen.
Du hast schon recht damit, dass es n Wurzeln gibt bei dem komplexen Problem. Ich habe die sich wiederholenden mit eingeschlossen - sorry :) Wenn der Hauptwert deiner o. g. Funktion =2 ist, dann wäre er das aber auch in der komplexen Analysis. Denn du betrachtest hier den Realteil, da der Imaginärteil =0 ist. Auch beim komplexen Wurzelziehen wird nicht mehr Wert auf Mehrdeutigkeit gelegt als im Reellen. Ich weiß nicht, wo du das her hast. Ich habe es noch nie erlebt, dass man bei sqrt(4) nur den Wert 2 betrachtet. Und falls es dir entgangen ist, wird die LösungsMENGE von sqrt(4) als geschweifte Klammer dargestellt, die alle Elemente beinhaltet und den Hauptwert schreibt man einfach als Zahl. Und weiterhin stimmt auch die Aussage "Ich habe gesagt, die reelle Wurzelfunktion ist so definiert, dass die positive der beiden Lösungen das Funktionsergebnis ist." absolut nicht. Ich weiß nicht, wo du das gelernt hast, aber diesen Lehrer würde ich entlassen. MFG
Danke dass Du Dich nochmal gemeldet hast.
Dann würde mich nur noch interessieren, warum man bei Wurzelgleichungen eine Probe durchführen muss, um Lösungen von Scheinlösungen zu unterscheiden.
naja das kann ich nicht so genau sagen, aber ich denke, dadurch, dass Wurzelgleichungen generell einfach unlösbar sein können, muss man, wenn man überhaupt Lösungen findet, eine Probe machen. Ich habe mir mal die Gleichung, die hier weiter unten als Beispiel für Scheinlösungen angegeben steht, angeschaut und stelle fest, dass man auf beiden Seiten die Variable stehen hat. Da wird eine Lösung einfach nicht möglich. Du kannst meine Aussage ja überprüfen, vielleicht irre ich auch.
ok ich muss direkt eine Korrektur meiner Aussage hinterher schicken: ich habe einen Fehler gemacht beim umformen...sorry :) Die Richtigkeit meiner Aussage, dass man generell eine Probe machen muss, weil Wurzeln und Quadrate keine Äquivalenzumformungen sind, bleibt.
Schaust Du mal auf den Link
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/pdf/wurzelgleichungen1.pdf
Auf Seite 2 fast ganz oben steht
"Die Probe in der Ursprungsgleichung ergibt, dass x=12 keine Lösung ist, denn
...
sqrt(25)=-5
5=-5
ist falsch!"
Da ist mit der Wurzel doch eine Funktion gemeint, die nur den positiven Wert enthält.
Ansonsten kann die Aussage
sqrt(25)=-5
durchaus richtig sein.
Das meinte ich.
Ich weiß nicht wie du darauf kommst, dass "man" die positive Lösung unter "Wurzel" versteht. Allgemein gilt eben, dass die Wurzel eine mehrdeutige Relation ist.
Mit diesem Hilfskonstrukt "Hauptwert" (ein Begriff, der mir ehrlich gesagt in dem Kontext auch neu ist), macht man aus der Relation eine Funktion, aber eben um den Preis, dass die Wurzel damit nicht mehr die Umkehrung der Potenz ist.
Es ist halt nun mal so, dass nur streng monotone Funktionen auch Funktionen als Umkehrung haben können.
Generell muss man aufpassen, dass auch in der Mathematik Begriffe nicht allgemeingültig sind, sondern definiert sind. Nur weil in Deinem Unterricht mal die Quadratwurzel als Funktion über ihren "Hauptwert" definiert wird, heißt also nicht, dass das anderswo auch als gültig angesehen wird.
Ein etwas verbreitetes ähnliches "Problem" ist z.B. dass je nach Kontext die Null eine natürliche Zahl ist oder eben auch mal nicht.
Bei Wikipedia ist unter Wurzelgleichung ein schönes Beispiel:
sqrt(8-2x) = 1 + sqrt(5-x)
Die Umformungen ergeben x=4 und x=-4. Eine Probe mit x=-4 ist kein Problem, bei x=4 klappt sie angeblich nicht, deshalb sei x=4 eine "Scheinlösung". Einsetzen bringt zunächst
0 = 1 + sqrt(1)
was aber durchaus eine Lösung ist, wenn man -1 als eine Lösung der Wurzel akzeptiert.
Die Wurzelfunktion ist doch aber unter ihrem Hauptwert definiert, tippe im Taschenrechner oder in irgendeiner Programmiersprache sqrt(4) und Du bekommst 2 und nicht -2. Nur deswegen liest Du doch die Vorgehensweise mit der Wurzelgleichung und man müsse eine Probe machen um Lösungen von Scheinlösungen zu unterscheiden.
Ich fände es logisch, strenger zu unterscheiden, was also mit der Wurzel genau gemeint ist. Eine ausgezeichnete Lösung oder alle möglichen.
Beim Programmieren musst du halt immer die Doku lesen was unter "sqrt" zu verstehen ist. Die meisten Standard-Sprachen werden darunter eine Funktion verstehen, die |R+ -> |R+ abbildet. Dies ist aber nur der Einfachheit geschuldet und hat nichts mit der mathematisch-allgemeinen Definition der Wurzel als Unmkehr-Relation der Potenz zu tun. Diese Fälle musst du immer unterscheiden.
Auch bei den Programmierumgebungen gibt es einige, die die Wurzel im mathematischen Sinne verstehen. Dazu gehören echt-mathematische Bibliotheken, wie es sie für die meisten Programmiersprachen gibt. Und natürlich ganz besonders darauf spezialisierte Algebra-Systeme wie Axiom, Maple und Mathematica.
Letztlich bleibt es immer eine Frage der sauberen Definition was in einem gegebenen Fall unter "Wurzel" zu verstehen ist.
Also ich kenne es so, dass auch alle Werte, und nicht nur die positiven, zu der Lösung einer reellen Gleichung gehören. Bei den komplexen Zahlen gibt es nur mehr Lösungen, wenn unter der Wurzel auch eine negative Zahl steht.
Hab ich nicht behauptet, dass die Lösung x^2=a nur eine Lösung hat. Ich habe gesagt, die reelle Wurzelfunktion ist so definiert, dass die positive der beiden Lösungen das Funktionsergebnis ist. Die reelle Wurzelfunktion liefert also nur eine der beiden Lösungen.
Ich komme auch nicht auf unendlich viele Wurzeln, sondern auf n Lösungen der n-ten Wurzel. Du kannst das auch in der Polarform prüfen:
abs(z^(1/n)) = |z|^(1/n)
arg(z^(1/n)) = arg(z+i 2 pi k)/n
Die n+1-te Wurzel ist mit der ersten identisch, dann bist einmal herum auf dem gleichseitigen Lösungsstern.
Nochmal: Ich verstehe sehr wohl, dass das Wurzelziehen als Umkehrung des Potenzierens mehrdeutig ist. Es ist aber auch so, dass die Wurzelfunktion als Hauptwert definiert eindeutig ist. Die Relation der Umkehrung und die Funktion haben aber leider die gleiche Schreibweise bekommen. Würde mich freuen, wenn mir jemand erklären kann, warum man hier nicht so penibel war wie man es sonst in der Mathematik kennt.
Wenn man unter dem Term "sqrt(4)" entweder 2 oder -2 versteht, dann macht bei den Wurzelgleichungen das ganze Probe bilden um Lösungen von Scheinlösungen zu unterscheiden, keinerlei Sinn mehr.