Wann verwendet man Betragstriche bei Wurzeln?
Ich habe seit kurzem das Thema Quadratwurzeln in der Schule (achte klasse). Ich habe auch alles bis auf den Betrag verstanden.Ich bin mir nun nicht sicher wie das funktioniert. Zum Beispiel habe ich Wurzel x zum Quadrat = 4 dann kann x ja -2 und 2 sein oder ? Hier müsste ich dann doch die Betragstriche setzten. Oder müsste ich sie zum Beispiel bei Wurzel x hoch 3 =ein Betrag setzen ? Eigentlich muss es bei x hoch 3 ja positiv sein weil sonst geht die Wurzel ja nicht.
5 Antworten
Unter der Wurzel darf nie etwas negatives rauskommen. Also wenn wurzel X = 2. Dann kann es nur 2 sein. Also dort keine Betragstriche. Aber wenn da steht wurzel X*2 = 4. Dann könnte X sowohl -4 als auch 4 sein, da dort sein.
Wurzel x zum Quadrat = 4
Es ist ein Unterschied, ob das heißen soll, dass du die Wurzel aus x² nehmen sollst, oder ob du die Wurzel aus x quadrieren sollst. Schreibe das mit Klammern, und etwas kürzer mit "W" für Wurzel.
- (W(x))² : Wurzel aus x, und das dann quadrieren
- W(x²) : x wir quadriert, und daraus die Wurzel.
So ist klar, was gemeint ist.
Also, folgendes:
- Wenn da steht (W(x))² , dann kann x nicht negativ sein, sonst wäre W(x) ja nicht definiert. Es kommen nur x>0 in Frage. Und wenn man die Wurzel einer Zahl quadriert, kommt die ursprüngliche zahl wieder heraus. Also:
(W(x))² = x
Du brauchst keine Betragsstriche. Sie wären allerdings auch nicht falsch: (W(x))² = |x|, das wäre auch richtig. Aber die Betragsstriche sind hier überflüssig, und Überflüssiges lässt man normalerweise weg. - Wenn da steht W(x²), dann ist die Wurzel immer definiert. x darf hier auch negativ sein, denn zB (-2)²=4, also W((-2)²)=W(4)=2. Kein Problem. Beachte aber: hier wurde x=-2 eingesetzt, heraus kam aber 2, ohne Minus! Das "hoch 2" ergibt immer eine positive Zahl (oder allenfalls 0, denn 0²=0), und die Wurzel ist per Definition immer nicht-negativ. Also musst du hier Betragsstriche verwenden:
W(x²) = |x|
Hier sind die Betragsstriche wirklich nötig!
Wenn da steht (W(x))²...": In diesem Fall kann x sehr wohl kleiner als 0 sein, denn da Quadrieren und Wurzelziehen gleichwertige Operation sind, ist die Reihenfolge egal
Die Reihenfolge ist nicht egal. W(x) ist nicht definiert für x<0. Was nicht definiert ist, kann nicht quadriert werden.
Würde man komplexe Zahlen zulassen, dann wär's definiert und hätte ein negatives Ergebnis:
(W(-1))² = i² = -1
Wir hatten das auch vor kurzem... soweit ich das verstanden haben könnte es theoretisch immer + und - sein. Allerdings nicht wenn es keinen sinn hat z. B. Bei Flächen oder Flächeninhalten oder so... also wenn es gar kein - geben kann weil es nicht logisch ist.
Die Wurzel aus 4 ist immer +2. Die Gleichung x²=4 hat aber die beiden Lösungen x1=2 und x2=-2. Da Betragsstriche negative Werte mit -1 multiplizieren, also positiv machen, kann man auch sagen, die Lösungen der Gleichung x²=4 erfüllen |x|=2. Das stimmt sowohl für x=2 als auch für x=-2.
Bei Flächen oder Längen ergibt eine negative Zahl keinen Sinn, also nimmt man den Betrag. Z.B.: Du willst eine Seitenlänge von x^2. Dann rechnest du nicht +/- die Wurzel, da -x als Ergebnis mathematisch zwar möglich wäre, in diesem Fall aber keinen Sinn macht.
Sehr gut erklärt, aber ein kleiner Einwand zu "Wenn da steht (W(x))²...": In diesem Fall kann x sehr wohl kleiner als 0 sein, denn da Quadrieren und Wurzelziehen gleichwertige Operation sind, ist die Reihenfolge egal - also (W(x))² = W(x²) → ABER: das Ergebnis ist auf jeden Fall positiv (wie du ja unten gesagt hast.
Das Ganze ist insofern sinnvoll, als es eine "rechnerische" Methode ist, ein 100%ig positives Ergebnis zu erhalten (zB in manchen Programmiersprachen gibt es die explizite Funktion "Betrag" nicht.
Also noch einmal kurz: Wenn ein Ergebnis positiv sein soll, dann geht das entweder mit dem Symbol |...| oder durch Quadrieren und anschließendes Wurzelziehen