Kann man für mathematische Parameter Werte einsetzen/ annehmen?

Hi Leute,

es geht um die Simpson-Aufgabe in 4.2 (vgl. Bild 1)

Ich habe versucht es auszurechnen und Werte für die Parameter a,b,c eingesetzt (vgl. Bild 2), da ich ein konkretes Ergebnis mit einer Zahl haben wollte, welches als Vergleich dienen sollte. Dabei hat der Dozent mir einen Punkt abgezogen, mit der Begründung, es sind Parameter. Mir ist klar, dass es keinen Konstanten sind, aber ist dies immer nicht erlaubt Werte einzusetzen, um ein konkretes Ergebnis zu erhalten?

Vielen Dank.

Comments

[Knuffelmuffe219]

Was studierst du?

[Gerhard352]

Maschinenbau

Answer 1

[Slevi89]

Danach ist aber in der Aufgabe so nicht gefragt. Du sollt eine "konkrete Rechnung" durchführen, um die Aussagen in 2 zu beweisen.

Das ist auch nicht schwer:

Du wendest die Simpson-Regel auf das gegebene Intergral an:

$\int_0^{^1}p\left(x\right),\ mit\ \deg\ p\left(x\right)\ \le\ 3\$

Die Grenzen hast du schon gegeben, sodass allgemein aus

$S\left(f\right)\ =\ \frac{\left(b-a\right)}{6\ }\cdot\left(f\left(a\right)+4f\left(m\right)+f\left(b\right)\right)$

folgt

$\frac{1}{6}\cdot\left(p\left(0\right)+4\cdot p\left(\frac{1}{2}\right)+p\left(1\right)\right)$

Jetzt setzen wir das (größte geforderte/erlaubte) Polynom

$p\left(x\right)\ =\ ax^3+bx^2+cx+d$

ein und erhalten

$\frac{1}{6}\cdot\left(d\ +4\cdot\left(\frac{1}{8}a+\frac{1}{4}b+\frac{1}{2}c+d\right)+a+b+c+d\right)$

das lässt sich noch vereinfachen zu:

GLEICHUNG 1

$\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{3}{2}a+2b+3c+6d\right)=\ \frac{1}{4}a+\frac{1}{3}b+\frac{1}{2}+d$

Jetzt berechnest du das Integral, wie verlangt, nochmal exakt, also

$\int_0^{^1}p\left(x\right)dx\ =\ \int_0^{^1}\ ax^3+bx^2+cx+d\ dx\ =\ \left[\frac{1}{4}ax^4+\frac{1}{3}bx^3+\frac{1}{2}cx^2+dx+e\right]_{_0}^{^1}$

und das ist gleich:

GLEICHUNG 2

$\frac{1}{4}a+\frac{1}{3}b+\frac{1}{2}c+d$

Womit der Nachweis erfüllt ist, denn GLEICHUNG 1 = Gleichung 2

Da wir mit Grad 3 des Polynoms begonnen haben, ist es an der Stelle leicht zu argumentieren, dass es auch für Grad <= 3 gilt, da entsprechende Parameter in beiden Rechnungen einfach wegfallen.

Answer 2

[LUKEars]

Du kennst bei 4.2 das Polynom p(x) ja nicht... Wie sollst du dann Werte für a,b,c oder d wissen... Da kann man dann nur noch vereinfachen und zusammenfassen und so...

Oder?

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Absolvent/Universität

Comments

[Slevi89]

Es geht auch nicht darum explizite Werte für Parameter zu kennen, sondern um den Allgemeinen Beweis. Dieser ist entsprechend für alle Parameter gültig.