Kann jemand bei Schritt 3 die Abschätzung erklären?
1 Antwort
Ungleichung (1) wurde auf den Teil in der Klammer (ohne Potenz 1/p) angewandt
Wobei für das "x" in (1) der Term
steht, für das "y" in (1) der Term
für das "p" in (1) der Term
und für das "q" in (1) der Term
(||x||_p)^q wurde aus der Summe "ausgeklammert", damit sich der Wert nicht ändert, muss entsprechend jeder Term der Summe durch diesen Wert geteilt werden.
Wenn man (||x||_p)^q aus der Potenz Summe^(1/q) herauszieht, bleibt (||x||_p) übrig.
Wenn man im Summanden (||x||_p)^q in die Potenz mit irgendwas^q hineinschiebt, bleibt 1/(||x||_p) übrig.
Letztlich genau das, was da steht.
Für 2 Summanden:
|x_1|^q + |x_2|^q
= (||x||_p)^q * (|x_1|^q + |x_2|^q) / (||x||_p)^q
= (||x||_p)^q * (|x_1|^q / (||x||_p)^q + |x_2|^q / (||x||_p)^q)
= (||x||_p)^q * ( (|x_1| / ||x||_p)^q + (|x_2| / ||x||_p)^q)
und
(|x_1|^q + |x_2|^q)^(1/q)
= ( (||x||_p)^q * ( (|x_1| / ||x||_p)^q + (|x_2| / ||x||_p)^q) ) ^ (1/q)
= (||x||_p)^q^(1/q) * ( (|x_1| / ||x||_p)^q + (|x_2| / ||x||_p)^q) ^ (1/q)
= ||x||_p * ( (|x_1| / ||x||_p)^q + (|x_2| / ||x||_p)^q) ^ (1/q)
Das ^q kommt von der Definition von ||·||_q.
Um statt nur 2 Summanden eine Summe mit einer unbestimmten Zahl von Summanden zu schreiben, wäre mir jetzt zu viel Aufwand.
Gibt es eine bestimmte Stelle, wo du nicht mitkommst, oder ist dir die Schreibweise zu unübersichtlich?
warum ist dann in der eckigen klammer die erste gleichung gleich IIXII_q das verstehe ich nicht