Inverse Abbildung finden?

Ich muss für eine Aufgabe die inverse Abbildung von der folgenden Funktion finden:

Für den 1. Teil (x+2y) habe ich x-2y bestimmt, aber ich weiß nicht, wie ich die Inverse Abbildung von dem 2. Teil, also 2x-y bekomme.

Answer 1

[mihisu]

Für den 1. Teil (x+2y) habe ich x-2y bestimmt

Du kannst nicht einfach die beiden Komponenten einzeln invertieren, da diese in gewissem Sinne zusammenhängen. Wie bist du auf „x-2y“ für den 1. Teil gekommen?

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Im Grunde musst du das folgende lineare Gleichungssystem bzgl. x, y lösen.

$x+2y=x'$ $2x-y=y'$

Das kann man beispielsweise mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus lösen...

$\left(\begin{array}{cc|c}1 & 2 & x' \\ 2 & -1 & y'\end{array}\right)$

$\xrightarrow{\text{II}-2\cdot \text{I}}\ \left(\begin{array}{cc|c}1 & 2 & x' \\ 0 & -5 & -2x'+y'\end{array}\right)$

$\xrightarrow{-\frac{1}{5}\cdot \text{II}}\ \left(\begin{array}{cc|c}1 & 2 & x' \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} x'-\frac{1}{5} y'\end{array}\right)$

$\xrightarrow{\text{I}-2\cdot \text{II}}\ \left(\begin{array}{cc|c}1 & 0 & \frac{1}{5} x'+\frac{2}{5} y' \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} x'-\frac{1}{5} y'\end{array}\right)$

Daher erhält man also...

$x=\frac{1}{5} x'+\frac{2}{5} y'$ $y=\frac{2}{5} x'-\frac{1}{5} y'$

Die entsprechende Umkehrabbildung ist demnach...

$f^{-1}:\ \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\ \left(x', y'\right)\mapsto \left(\frac{1}{5}x'+\frac{2}{5}y', \frac{2}{5}x'-\frac{1}{5}y'\right)$

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Bzw. kann man auch die Abbildungsmatrix von f bzgl. der Standardbasis B = ((1, 0), (0, 1)) des ℝ² betrachten...

$M_{B}^{B}\left(f\right)=\begin{pmatrix}1 & 2 \\2 & -1\end{pmatrix}$

Die Abbildungsmatrix der Umkehrabbildung entspricht der inversen Matrix. Also kann man die entsprechende inverse Matrix berechnen und das dann wieder in eine Abbildungsvorschrift übersetzen.

Comments

[TBDRM]

Was ist mit Standardbasis B gemeint? :)

[mihisu]

@TBDRM

ℝ² ist ein Vektorraum über den reellen Zahlen. (Sollte auch klar sein, da es um lineare Abbildungen geht.)

In jedem Vektorraum kann man eine Basis finden. (Bzw. in der Regel mehrere verschiedene Basen, da die Basis eines Vektorraums in der Regel nicht eindeutig ist.) Im ℝ² gibt es nun eine relativ einfache Basis, die sich aus den beiden Vektoren (1, 0) und (0, 1) zusammensetzt, und die einem wahrscheinlich zuerst in den Kopf kommt, wenn man an eine Basis des ℝ² denkt. Diese Basis nennt man auch Standardbasis oder kanonische Basis des ℝ².

Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Standardbasis

In meiner Antwort habe ich diese Basis dann mit dem Buchstaben B bezeichnet.

[TBDRM]

@mihisu

Ah okay, danke :))

Answer 2

[BorisG2011]

Wenn du die Abbildung in dieser Form schreibst:

$x'\ =\ x\ +\ 2\cdot y$ $y'\ =\ 2\cdot x\ -\ y$

hast du sofort ein Gleichungssystem in den Unbekannten x und y, das du lösen kannst.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium der Mathematik

Comments

[DerRoll]

Der Ansatz ist richtig, aber in der Schreibweise verwirrend, da für Ungeübte eine Verwechslung mit Ableitungen möglich ist.

Answer 3

[DerRoll]

Das ist offensichtlich eine lineare Abbildung, wie auch BorisG2011 richtig dargestellt hat. Berechne die Inverse Matrix. Das geht indem du die Gleichungssysteme

Ax = (1, 0)^T und Ax = (0, 1)^T

löst.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.