Ich komme nicht weiter bei dieser Matheaufgabe?
Könnt ihr mir erklären wie ich bei der Aufgabe 6 vorangehen muss
ich verstehe garnichts
danke im Voraus
2 Antworten
Hallo.
Es ist immer das Wichtigste, zu verstehen, was in einer Aufgabe überhaupt von Dir gefragt ist, gehen wir die Aufgabe also Punkt für Punkt durch.
"Aus einem Werkstück soll ein Rechteck herausgefräst werden":
Du siehst rechts eine Zeichnung des Werkstücks, es handelt sich um die Fläche, die nach oben von der schwarzen Bogenlinie 'K' und nach unten von der x-Achse begrenzt wird.
Du siehst auch in rot, wie das Rechteck herausgefräst werden soll. Es liegt genau mittig im Werkstück, die oberen beiden Ecken stoßen genau an die Bogenlinie 'K' des Werkstücks und unten liegt seine Kante auch genau auf der x-Achse. Unten muss also nichts abgefräst werden, nur die Stücke links, rechts und über dem Rechteck.
"Die Berandung des Werkstücks wird beschrieben durch die Funktion f mit
f(x) = -0,5x² + 2; -2 ≤ x ≤ 2":
Hier wird die Bogenlinie K beschrieben. Sie verläuft wie eine nach unten geöffnete Parabel, aber nur für die x-Werte zwischen -2 und +2. Bei x=-2 und x=2 endet die Bogenlinie K und das Werkstück ist nach unten geradlinig durch die x-Achse begrenzt. Wie die Bogenlinie genau verläuft, beschreibt die Funktion f. Diese liefert Dir für jeden x-Wert, den Du in die Funktion einsetzt, einen dazugehörigen f(x)- Wert oder auch y-Wert. Das ist, wie weit Du an diesem ausgewählten x-Wert nach oben wandern musst, um an die Kante des Werkstücks zu kommen.
Beispiel: Für den x-Wert x=1 liefert die Funktion f(x) = f(1) = -0,5•1² + 2 = 1,5.
Das siehst Du auch auf der Zeichnung, wenn Du von der mit '1' markierten Stelle auf der x-Achse nach oben wanderst, landest Du nach 1,5 Feldern an der Bogenlinie K.
"Zwei Ecken (des Rechtecks) liegen jeweils auf der x-Achse und auf dem Schaubild K von f":
Das beschreibt noch mal, wie genau das rote Rechteck mit dem Werkstück zusammengehört. Wie ich oben schon erwähnte, liegen die unteren beiden Ecken des Rechtecks (und damit seine untere Kante) auf der x-Achse, die oberen beiden Ecken des Rechtecks liegen genau auf der Bogenlinie K. Und die Bogenlinie K wird beschrieben von der Funktion f.
"Stellen Sie eine Formel für den Flächeninhalt A des Rechtecks auf.":
Jetzt geht es erst wirklich mit der Aufgabe los. Das Rechteck hat einen Flächeninhalt, der A heißen soll, und wir sollen eine Formel angeben, die diesen Flächeninhalt ausgibt. Bevor wir anfangen, zwei Überlegungen: Wieso ist eigentlich eine Formel für die Fläche notwendig und welche Werte können wir sinnvoll in die Flächenfunktion einsetzen?
Wenn wir uns die Zeichnung noch mal anschauen, sehen wir, dass die Höhe des Rechtecks klar begrenzt und definiert ist von der Bogenlinie K. Was aber noch gar nicht festgelegt ist, ist die Breite des Rechtecks. Die ist noch frei zu wählen, wir können also ein schmales Rechteck, ein breites Rechteck oder sogar ein Quadrat aus dem Werkstück aussägen, je nachdem wie breit das Rechteck ist.
Bleiben wir bei der Zeichnung. Das Rechteck liegt immer genau in der Mitte, wir können eine Aussage über seine Breite also mit dem x-Wert einer seiner unteren Ecken machen: Ist x=1 haben wir ein Rechteck der Breite 2, ist x=0,1 haben wir ein sehr schmales Rechteck der Breite 0,2 und ist x=1,9 haben wir ein sehr flaches Rechteck der Breite 3,8.
Die Breite ist also immer das Doppelte des x-Wertes, da das Rechteck immer genau mittig liegt und eine Breite nach rechts immer auch gleichzeitig die Selbe Breite nach links bedeutet.
Die Breite des Rechtecks ist also immer 2•x.
Sinnvoll für x einsetzen können wir dabei nur Werte zwischen 0 und 2, denn das Rechteck kann nicht schmaler als nichts werden (passiert bei x=0) und darf auch nicht größer als das Werkstück werden bzw. flacher als nichts (passiert bei x=2).
Da man mit dem x-Wert gut Aussagen über die Breite des Rechtecks machen kann, ist es wohl sinnvoll für die Flächenfunktion, wenn man in diese ein x einsetzen kann. Nennen wir sie also A(x) um klar zu machen, dass wir einen x-Wert einsetzen und einen Flächenwert herausbekommen wollen.
Überlegen wir jetzt, wie wir an die Fläche des Rechtecks herankommen. Die Formel für die Fläche eines Rechtecks lautet immer Fläche = Breite • Höhe.
In unserem Fall können wir also die Fläche A(x) nennen und die Breite des Rechtecks kennen wir auch schon. Wir sind also bereits bei der Aussage
A(x) = 2•x • Höhe
Jetzt fehlt nur noch die Höhe. Die Höhe des Rechtecks entspricht aber immer genau dem Abstand zwischen der Bogenlinie K und der x-Achse. Und für diesen Wert können wir die Formel f(x) benutzen, die die Bogenlinie beschreibt. Genauer gesagt gibt f(x) immer den Abstand der Bogenlinie von der x-Achse aus. Das ist genau der Wert den wir benötigen. Die Höhe des Rechtecks für ein gewähltes x ist also genau der Wert, den f(x) liefert, wenn wir dieses gewählte x einsetzen.
Beispiel: Wenn wir x=1 setzen, liefert f(x) = f(1) den Wert 1,5 (das hatten wir oben schon mal ausgerechnet). Das entspricht genau der Höhe des Rechtecks. Die Breite des Rechtecks wäre in diesem Fall übrigens 2•x = 2.
Wir können also "Höhe" ersetzen durch f(x), oder direkt durch den Funktionsterm von f(x), und die Flächenformel sieht so aus:
A(x) = 2•x • (-0,5x² + 2); 0 ≤ x ≤ 2
Die Klammern sind hier dringend notwendig wegen der Punkt-vor-Strich Regel. Die Einschränkungen für x kamen aus den Überlegungen für die Breite. Wenn wir die Klammern auflösen, landen wir bei der endgültigen Formel
A(x) = -x³ + 4x; 0 ≤ x ≤ 2
Ich hoffe, das war bis hierher schon mal hilfreich. Für den letzten Punkt der Aufgabe fehlt mir gerade die Zeit, eventuell komme ich später noch dazu.
Viele Grüße!
Wie lautet den die Formel für die Berechnung eines Rechtecks?
A = a * b
Und jetzt musst du nur noch überlegen an Hand der Zeichnung, wie groß ist a und was ist b.