Hotel mit abzählbar unendlich vielen Zimmern?
Ein Hotel mit abzählbar unendlich vielen Zimmern ( eines für jede natürliche Zahl) ist immer voll besetzt und niemand entscheidet sich zu verreisen. Es ist dennoch immer möglich Platz für einen zusätzlichen gast zu finden, indem jeder vorhandene Gast aufgefordert wird in das Zimmer mit der nächsthöheren Nummer zu ziehen. So kann der neue Gast Zimmer 1 belegen.
a) Es werden nun keine weiteren Gäste aufgenommen und die Gäste entscheiden sich jede Nacht in ein neues Zimmer zu ziehen. Können die Gäste jede Nacht das Zimmer wechseln, ohne jemals dasselbe zu belegen wenn das Hotel eine Strikte Regel hat, dass jedes Zimmer in jeder Nacht besetzt sein muss?
b) Es wurden abzählbar unendlich viele neue Stockwerke hinzugefügt und nun soll in den zuvor vorhandenen Zimmern ein unendliches Buffetrestaurant eingerichtet werden, sodass alle Gäste aus ihren alten Zimmern in die neuen Zimmer in den oberen Stockwerken umziehen müssen. Wie lässt sich jedem Gast ein neues Zimmer zuweisen, ohne dass ein Zimmer in den oberen Stockwerken leer steht?
Ich sitze schon ne weile an dieser Aufgabe und brauche Hilfe
Meine gedanken soweit:
a) hätte gedacht nein, weil wenn alle ein zimmer weitergehen mussder "letzte" zuruck in zimmer 1, damit dieses belegt ist, dies geschieht immer wieder bis der Gast, welcher bei Zimmer 1 startet wieder bei Zimmer 1 ankommt.
b) kann man nicht einfach sagen das der Gast in Zimmer 1 in das erste Zimmer im oberen Stockwerk zieht, der Gast in Zimmer 2 dann in das zweite? oder vertehe ich hier irgendetwas nicht
danke schon einmal
2 Antworten
A) nein, das ist so nicht schlüssig widerlegt. Es gibt keinen "letzten" Gast. Versuche mit dem zweiten Cantorschen Diagonalelement weiter zu kommen.
B) das Hotel hat nicht ein, sondern abzählbar viele Stockwerke. Hier hilft dir das erste Cantorsche Diagonalargument.
danke für die Hilfe aber ich bin zu doof dafür checke es einfach nicht
Die erste Aufgabe ist sicher nicht einfach, und ich habe keinen guten Ansatz, vermute aber das ein Widerspruchsbeweis analog dem dass R überabzählbar sein muß zum Ziel führt. Wenn du diesen Beweis nicht verstehst, fehlen dir elementare Grundlagen.
Gleiches gilt für den zweiten Aufgabenteil. Dieser funktioniert offensichtlich genau wie der Beweis das Q abzählbar ist. Denn die Brüche bestehen auch aus abzählbar vielen Stockwerken mit abzählbar vielen Zimmern. DAs solltest du dir allerdings leicht klar machen können.
s.u. in meinem Kommentar, da hab ich eine Lösung für Aufgabe (a) beschrieben - das ist Hilberts Hotel mit geraden Zimmernummern auf der einen Flurseite und ungeraden auf der anderen… :-)
Such mal im Internet nach Hilberts Hotel - da bekommst du das Konzept erklärt.
Ich wusste gar nicht, dass Hilberts Hotel aufgestockt wurde 😉