Herleitung: Formel für die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t beim freien Fall
Die Aufgabe lautet: "Für den Weg s(t), den ein Körper beim freien Fall im Zeitintervall [0;t] zurücklegt, gilt näherungsweise s(t)=5t^2 (t in Sekunden, s in Meter) Stelle eine Formel für die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t beim freien Fall! Wie mache ich das? Vielen Dank für eure Antworten. (Dies ist keine Hausaufgabe, ich muss Privat Mathematik nachlernen und habe deshalb derzeit keinen Lehrer den ich fragen könnte.)
6 Antworten
Habt ihr schon Differentialrechnung? Die Geschwindigkeit ist die erste Ableitung des Ortes nach der Zeit.
In deinem Fall:
s(t)= 5 t²
s'(t) = v(t) = 5*2t = 10t
LG
Es gibt einige Ableitungsregeln die du anwenden kannst. Hier lautet die betreffende Regel:
(x^n)' = n x^(n-1)
in diesem speziellen Fall also
(t²)' = 2 t^(2-1) = 2 t^1 = 2t
http://de.wikipedia.org/wiki/Ableitungsregeln#Ableitungsregeln
Viel Erfolg beim Nachholen, das ist wirklich wichtiger Stoff. LG
Vorfaktoren (in deinem Beispiel die 5) bleiben übrigens konstant und werden nicht mit abgeleitet.
Vielen Dank nochmal. Kriegst dann morgen den Stern aber GF lässt mich noch nicht. Ich krieg das mit dem Nachlernen schon hin. Laut meinen Berechnungen bin ich in einem Monat durch. Außerdem gibt es ja die liebe Community hier.
OK, wenn du Differentialrechnung noch nicht kennst, geht auch mit den Formeln von der gleichmäßig beschleunigten Bewegung.
y = (a/2)t^2 gilt allgemein
y = 5t^2 gilt in diesem Fall
Durch Vergleich der beiden Gleichungen:
a/2 = 5 => a = 10 m/s^2
Jetzt setzen wir das in die Geschwindigkeitsfunktion ein:
v = at = 10t
Wirkt eine Kraft auf einen Körper, so wird dieser beschleunigt. Im freien Fall wirken keine Kräfte auf einen Körper, folglich kann er keine Geschwindigkeit erreichen !
Warum werden Gegenstände im freien Fall dann schneller? Frei heißt lediglich ungebremst, nicht ohne wirkende Kräfte. Das ist zwar auch eine Näherung aber hier geht es ja um Mathematik.
Und was ist mit einer gleichförmigen Bewegung? Hier wirkt keine Nettokraft, der Gegenstand hat aber trotzdem eine (konstante) Geschwindigkeit.
irgendwas stimmt da nicht. Da v=s/t müsste ja rauskommen:
5t^2/t bzw. 5t
Und das gibt keinen Sinn.
Genau das hab ich mir auch gedacht, allerdings sagt das Lösungsheft v(t)=10t.
Ein freier Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Dafür gelten aber folgende Beziehungen:
s = (a/2) * t²
v = a * t
s: Weg
v: Geschwindigkeit
t: Zeit
a: Beschleunigung, hier ist die Schwerebeschleunigung der Erde gemeint. Sie ist etwa:
a = 9,81 m/s²
Die Formel s = v * t gilt nur bei konstanter Geschwindigkeit, ohne dass Kräfte wirken. Sie gehört zur gleichförmig-geradlinigen Bewegung!
Wird die Richtung der Beschleunigung im Koordinatensystem mit einbezogen, dann ist die Beschleunigung
a = - 9,82 m s^(-2)
Genau zu diesem Thema gehört die Aufgabe dazu. Ich war allerdings im Ausland für ein Jahr und habe Differentialrechnung noch nicht gelernt, weshalb ich das jetzt nachholen muss. Wieso 5*2t ? Danke