Gleichheit Summe von Exponentialfunktion und Sinus (und Eulersche Formel)?
Kann mir jemand dabei helfe, die Gleichheit zu beweisen:
Ich habe schon versucht mithilfe der Eulerschen Formel und den Additionstheoremen den Term umzuformen und bin darauf gekommen (also OHNE DIE SUMME):
Über Hilfe würde ich mich freuen!
2 Antworten
eternaladam hat das schon richtig beschrieben was hier gemacht werden muss.
Als Motivation zeige ich zunächst einmal folgede Grafik für den beispielhaften Winkel phi=135° und für n=3.
Man erkennt dass die blauen Segmentlängen alle gleich lang und unabhängig von der Zählung k sind. Ausserdem sieht man dass über eine einfache Sinusbeziehung die halbe Segmentlänge bestimmt werden kann.
Ein Beweis ist dies aber noch nicht. Aber ein Hinweis, dass die Beweisführung nun darin besteht algebraisch die Unabhängigkeit von k zu zeigen. Ausgehend von Deiner bereits ausformulierten Betragsbeziehung
muss man sich die Mühe machen diesen Ausdruck auszumultiplizieren.
Argumente, die eine Differenz enthalten werden durch folgende Additionstheoreme ersetzt.
womit man folgenden Ausdruck erhält, wobei die blauen und roten Terme sorgfältig mit den eckigen Klammer weiter ausmultipliziert werden. In der dritten Zeile gewinnt man dann die roten Terme, die sich aufheben.
Es verbleibt ein neuer Ausdruck, der sich auf einen einzigen Kosinusausdruck konzentrieren lässt, der unabhängig vom Zähler k ist.
Die Anwendung eines weiteren Additionstheorems führt dann zum gewünschten Ausdruck von dem ja noch die Quadratwurzel gezogen werden muss.
Vielen Dank für deinen Lösungsweg!!
Tatsächlich habe ich gleich angefangen, hatte dann aber zweifel, dass das richtig ist.
So ergibt das total Sinn! Vielen Dank nochmal für deine Mühe und die ausführliche Antwort!!
Vielleicht folgender geometrische Ansatz. Die Differenz zwischen je zwei Betragsstrichen in dieser Summe ist die Länge der Strecke in einem Dreieck, wo die anderen beiden Seiten die Länge 1 haben und der Winkel zwischen diesen beiden Seiten gleich phi/n ist. Der Sinus von phi/2n ist dann die halbe Länge dieser Strecke. Das muss man nur noch aufsummieren.