Gibt es einen Fachbegriff für die Aufweitung bzw. Verengung einer Krümmung?
In der Kurvendiskussion beschreibt die 3. Ableitung eines Funktionsgraphen die Änderung der Krümmung. Wie ist der Fachbegriff / Oberbegriff für die Aufweitung bzw. Verengung der Krümmung?
3 Antworten
Wenn die 3. Ableitung der Änderung der Krümmung beschreiben soll, dann denkst Du vielleicht, dass die 2. Ableitung die Krümmung schon beschreibt. Aber da geht man etwas zu leichtfertig mit dem Krümmungsbegriff um. Das mag daher kommen, dass lineare Funktionen vom Typ
stets mit dem Lineal gezeichnet werden können und dass erst wenn quadratische x-Terme oder höhere Potenzen hinzukommen die Kurven erst "krumm" werden. Schon das einfache Beispiel
zeigt das Dilemma. Du glaubst, dass die zweite Ableitung ein Maß für die Krümmung ist. Die zweite Ableitung hat den konstanten Wert 2. Aber richtig krumm ist die Parabel nur um den Wert x=0, während sie um den Punkt x = 1000 fast mit dem Lineal gezeichnet werden kann.
Die echte Krümmung wird über die Formel
berechnet. Diese variert über den gesamten Parabelast wobei der Kehrwert sogar den Krümmungsradius r ergibt. Der zugehörige Kreis schwiegt sich schön an die Kurve an.
Also: Nix mit 3. Ableitung gleich Änderung der Krümmung. Das darf man nur sagen, wenn man an der "unsauberen" Krümmungsdefinition festhält.
"In der Kurvendiskussion beschreibt die 3. Ableitung eines Funktionsgraphen die Änderung der Krümmung."
Das stimmt so nicht genau. Die Krümmung k des Graphen von f an einer Stelle x (also der reziproke Wert des Krümmungsradius inkl. Vorzeichen) ist gegeben durch:
Wenn du wirklich die "Änderung der Krümmung" beschreiben möchtest, kannst du - als ziemlich mühselige Aufgabe - von diesem Ausdruck nochmals die Ableitung nach x bilden. Kettenregel lässt grüßen .....
Als Beispiel habe ich einmal die Änderung der Krümmung der Normalparabel (Gleichung y = x^2) berechnen lassen:
(1.) Berechnung der Krümmung:
https://www.wolframalpha.com/input?i=curvature+of+y%3Dx%5E2
(2.) Berechnung der Änderung der Krümmung:
https://www.wolframalpha.com/input?i=derivative+of+2%2F%284+x%5E2+%2B+1%29%5E%283%2F2%29
curvature (wiki.en) krümmung (wiki.de) wobei hier nicht von der zweiten Abl die Rede ist
Wenn ich das richtig verstehe , kann man Krümmung bei der zweiten Ableitung verwenden , aber nur als Qualität ( rechts , links ) .
.
.
Seltsames Fundstück am Rande :
An bayerischen Beruflichen Oberschulen werden Wendestellen als Extremstellen der ersten Ableitung definiert
Da kann es ja zu Verständigungsschwierigkeiten kommen , trifft auf jemanden von dort als FS :))
"Wenn ich das richtig verstehe , kann man Krümmung bei der zweiten Ableitung verwenden , aber nur als Qualität ( rechts , links ) . "
Ich hatte ja die Formel zur Berechnung der Krümmung schon in meiner ersten Antwort angegeben, so wie später ProfFrink in seiner.
"An bayerischen Beruflichen Oberschulen werden Wendestellen als Extremstellen der ersten Ableitung definiert."
Das trifft auch zu (für Stellen im Inneren des Definitionsbereiches) und kann ev. als hilfreicher Tipp nützlich sein.
Ich weiß nicht genau, was du mit Aufweitung und Verengung meinst, aber die Konvexität beschreibt das Krümmungsverhalten.
Soweit ich weiß, gibt es dafür keinen speziellen Fachausdruck. Man kann also einfach von der Änderung der Krümmung sprechen. Dabei ist es aber nicht unbedingt sinnvoll, die Änderung in Abhängigkeit einer x-Koordinate in einem x-y-Koordinatensystem zu beschreiben.
Es gibt einen technisch wichtigen Fall, wo die Änderung der Krümmung eine praktische Rolle spielt: Bei der Planung von Eisenbahnlinien und Straßen muss man darauf achten, dass es keine abrupten Krümmungsänderungen entlang des Geleises oder der Fahrbahn gibt. Eine dafür entwickelte geometrische Kurve, entlang welcher die Krümmung in genau definierter kontinuierlicher Weise verändert wird, ist die Klothoïde. Sie findet insbesondere Anwendung bei Ein- und Ausfahrten von Autobahnen.
https://de.wikipedia.org/wiki/Klothoide#:~:text=Die%20Klothoide%2C%20auch%20Klotoide%20(von,bis%20zu%20der%20Stelle%20ist.