Gibt es eine Möglichkeit 2,5 hoch 1/3 ohne Taschenrechner zu rechnen?
4 Antworten
Hoch 1/3 ist nichts Anderes als die dritte Wurzel einer Zahl.
Ohne Taschenrechner kannst du den Wert näherungsweise bestimmen, aber nie ganz, da es sich bei der Lösung um eine irrationale Zahl handelt. Es gibt also endlos viele Stellen nach dem Komma.
Die sinnvollste Methode, die mir einfiele wäre es durch Probieren zu lösen. Du fängst an, dir zu überlegen, dass die Zahl zwischen 1 und 2 sein muss, da 1³ = 1 und 2³ = 8. Dann probierst du es zum Beispiel mit 1,5 und merkst, dass 1,5³ = 3,375. Die Zahl muss also zwischen 1 und 1,5 liegen. Danach probierst du es mit 1,25 usw. usw.
Nach vielen Schritten und viel Arbeit, die ein Computer-Algorithmus viel schneller erledigen könnte, wirst du irgendwann eine Zahl heraus bekommen, die zumindest auf eine bestimmte Zahl von Nachkommastellen richtig ist.
Zumindest läßt sich noch ohne großen Aufwand abschätzen, daß die Zahl zwischen 1,3 und 1,4 liegen muß. Mit etwas mehr Schreiberei bekommt man auch noch die zweite Stelle nach dem Komma, was für viele Berechnungen genau genug sein dürfte.
Herzliche Grüße,
Willy
Ja, auch die Bisektion ist ein Algorithmus zum Lösen von Gleichungen. Der Iterationsrechner zeigt das im Beispiel 2, wo nur
Fx(x): x*x*x-2.5
geändert werden muss. Auch er kommt mit Grundrechenarten aus, benötigt aber statt 4 Schritte etwa 50 Schritte bei gleicher Genauigkeit.
Es gibt mehrere Algorithmen! Da der Taschenrechner nur Näherungslösungen angibt, kann man sogar genauer rechnen als er! Alles nur eine Frage der Genauigkeit und des Zeitbedarfes!!
Der Iterationsrechner zeigt im Beispiel 15, wie man Wurzeln berechnet:
http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm
Bild 1
Das ist eine iterative Folge, wo das Ergebnis immer wieder neu in die selbe Funktion hineingegeben wird:
a[n + 1] = (2*a[n])/3 + 5/(6*a[n]*a[n]), a[0] = 1
"Nachfolger ist die Summe aus 2/3 des Vorgängers und 5/6 vom Quadrat des Vorgänger-Kehrwertes"
Man bekommt so Brüche, die mit jedem Schritt näher an derm irrationalem Ergebnis dran sind, ABER das perfekte Ergebnis nie erreichen (da unendlich viele Nachkommastellen -> irrational):
3/2
37/27
301027/221778
40913562424560373/30145370278932243 = 1.35720881...
Also schon nach 3 Schritten genau genug für die meisten
genauer:
410916078359446608145716095910055504533177493225003/302765555194796502099878183472062220503652430298082
...
Entscheide Du selbst, wann die "Genauigkeit" ausreicht, Aber bedenke:
(5290399*Pi)/12245926ist auch eine irrationale Zahl und stimmt mit 14 Nachkommastellen überein, ist aber nicht das exakte Ergebnis!
Ich könnte Dir 1000 Formeln sagen, die mit 30 Stellen übereinstimmen, aber nicht das exakte Ergebnis sind!
Aus 2,5=5/2 lässt sich die dritte Wurzel nicht sofort ziehen, da weder 2 noch 5 eine dritte potenz einer ganzen Zahl ist. Man kann 3te Wurzeln schriftlich ziehen. Wie, findest du hier: http://de.wikihow.com/Kubikwurzeln-von-Hand-berechnen ganz gut erklärt. Wie viele Stellen der irrationalen Zahl du berechnest, hängt von deiner Zeit ab ;o)
Es kommt eine irrationale Zahl heraus, denn 2,5=5/2 und weder 5 noch 2 sind kubische Zahlen (also Zahlen wie 8, für die gilt 8=2^3).
Danke! Hat sehr geholfen!!