Funktionssynthese?
Hallo Leute,
ich brauche Hilfe bei diese Aufgabe.
Der Graph einer ganzrationalen 3. Grades berührt die x-Achse an der Stelle 4 und hat in W(2/3) einen Wendepunkt. Funktionsterm bestimmen.
2 Antworten
Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion dritten Grades, d.h. die Funktionsgleichung hat diese Form:
Jetzt geht es darum, die Informationen der Aufgabenstellung in Mathematik zu übersetzen.
Der Graph berührt die x-Achse an der Stelle x = 4 bedeutet, dass bei x = 4 eine Nullstelle liegt, das heißt:
Dass er die x-Achse nur berührt, also nicht schneidet, bedeutet, dass dort ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, das heißt:
Zudem hat der Graph bei W(2 | 3) einen Wendepunkt, das heißt:
Zudem verläuft der Graph offensichtlich durch (2 | 3), wenn dort ein Wendepunkt liegt, das heißt:
Damit haben wir vier Gleichungen und können ein Gleichungssystem aufstellen. Dazu berechnen wir zunächst die erste und zweite Ableitung:
Nun setzen wir die Gleichungen in f bzw. f' bzw. f'' ein:
Es gilt also jetzt nur noch, das Gleichungssystem
zu lösen.
Du kannst deine Frage mit einem Foto ergänzen, dann schaue ich gerne drüber.
Ich kann kein Bild hinzufügen:(
aber ich kann keine Additionsverfahren verwenden, weil mich die Reihenfolge irgendwie verwirrt.
also ich muss erstmal d weg machen, aber d ist bei der I und bei IV.
und soweit ich das weiß man fängt von der I und II an. Erstmal multiplizieren und dann mit einander addieren. Usw….
Hey,
Ich kann dir gerne dabei helfen, die Funktion zu finden. Da die Funktion den Graphen der x-Achse bei x = 4 berührt, muss es sich um eine doppelte Nullstelle handeln. Das bedeutet, dass der Funktionsterm der Form f(x) = a(x-4)^2(x-b) sein muss, wobei b die dritte Nullstelle der Funktion ist.
Da die Funktion einen Wendepunkt in W(2/3) hat, muss die zweite Ableitung der Funktion an dieser Stelle gleich Null sein. Wir können dies nutzen, um eine Gleichung zu finden, die a und b beinhaltet.
f(x) = a(x-4)^2(x-b)
f''(x) = 6a(x-b)
f''(2/3) = 6a(2/3 - b) = 0
Daraus folgt, dass b = 2/3.
Um den Wert von a zu finden, können wir die Tatsache nutzen, dass der Graph der Funktion die x-Achse bei x = 4 berührt.
f(4) = 0
a(4-4)^2(4-2/3) = 0
Daraus folgt, dass a = 0.
Dies bedeutet, dass die Funktion f(x) = 0(x-4)^2(x-2/3) = 0 ist.
Also ist der Funktionsterm f(x) = 0.
Ich danke dir, aber ich kann bei der Additionsverfahren irgendwie nicht weiter machen🫤