Exponentielles Wachstum und lineares Wachstum mit gleichem Ergebnis?
Hallo :-) ich schreibe demnächst einen Test in Mathe, verstehe aber eine Übungsaufgabe nicht so ganz. Die Aufgabe lautet: Ein Kapital von 500 € wird zu einem Zinssatz von 5% verzinst. Bei der gleichen Bank gibt es einen Sparbrief, bei dem die Einmalanlage von 10000€ jährlich um 500€ aufgestockt wird. Nach wie vielen Jahren sind beide Kapitalanlagen auf den gleichen Betrag angewachsen?
Das mit den 5% Zinsen ist ja ein exponentielles Wachstum und das mit dem Sparbrief ist lineares Wachstum. Die Formeln kenne ich auch, aber wie kann man das für beide zusammen lösen? Danke schon mal :-)
7 Antworten
Bei dem Konkurrenzportal ===> Lycos hat mir User " Geejay " die ===> Lambertsche W-Funktion beigebracht.
500 * 1.05 ^ x = ( E4 ) + 500 x | : 500 ( 1a )
1.05 ^ x = x + 20 | : 1.05 ^ ( - x ) ( 1b )
Genau wie bei der quadratischen Ergänzung ( die du natürlich perfekt beherrschst ) versuchst du links ein " vollständiges W " zusammen zu bekommen; das ist auch weiter gar nicht tragisch. Das Internet ist voll mit W Übungsaufgaben.
exp [ - x ln ( 1.05 ) ] ( x + 20 ) = 1 | * - ln ( 1.05 ) ( 2a )
- exp [ - x ln ( 1.05 ) ] ln ( 1.05 ) ( x + 20 ) = - ln ( 1.05 ) | : 1.05 ^ 20 ( 2b )
In ( 2a ) haben wir den logaritmischen Faktor vor die ( lineare ) Klammer geholt; wir " gleichen an " Jetzt gilt es umgekehrt, die 20 aus der Klammer in die e-Funktion zu praktizieren.
- exp [ - ( x + 20 ) ln ( 1.05 ) ] ( x + 20 ) ln ( 1.05 ) = - ln ( 1.05 ) / 1.05 ^ 20 | W ( 3a )
Jetzt ist zu bedenken: Das Argument der W-Funktion ist negativ; da gibt es dann zwei Lösungen W1;2 analog Plus/Minus wurzel. Das Argument der W-Funktion ist vernachlässigbar klein, so dass in guter Näherung W2 = 0 . Das gibt dann den negativen Schnittpunkt, der uns hier nicht intressiert, der aber laut Plot da sein muss. In guter Näheerung ist x2 = ( - 20 )
tut mir Leid; aber ich kann Wolfram leider nicht bewegen, den W1-Wert auszuspucken.
also:
du musst erst mal beide formeln aufstellen ( n=Jahre; X = mal)
fürs lineares Wachstum: 10000 + (500 X n) ( hoch n)
fürs exponentielle Wachstum: 500 X 1,05% °n (hoch n)
du musst es dann noch gleichsetzen und dann nach n auflösen: ich kann dir hier leider nicht wirklich mehr weiterhelfen ( leider nur 9te Klasse)... bei uns war der Grundbetrag B(0) immer gleich..-.- villeicht kann dir sonst noch jemand helfen
ich hoffe das hilft dir!^-^
du stellst für beide "Probleme" eine Gleichung auf. nun musst du diese nur gleichsetzen und nach t oder x auflösen
k(t) = 500*1,05^t/T
g(t)= 10 000 + 500*t/T T= Zeitraum eines Jahres t= vergangene Zeit
Nun ist die Frage, nach wie vielen Jahren sind beide Gleich:
k(t) = 10 000 = 500 *1,05^t/T II *1/500 II ln(x)
ln(20) = t/T *ln(1,05) II *T/ln(1,05)
t(1) = T*ln(20)/ln(1,05) Das wäre die Zeit die bis zum Start von g(t) verstrichen wäre. Um wie viel weiter ist denn nun g(t) in der Zeit gekommen?
g(t(1)) = 10000 + 500 * t(1)/T
Dies liefert uns wiederum wieder ein Ergebnis. Also wenn wir von einem Bankenjahr ausgehen, also einem Jahr mit 360 Tagen bekommen wir:
t(1) = ca. 22104,12 Tage = ca. 61,4 Jahre
g(t(1)) = ca. 40700,17 €
Nun setzen wir wieder an wie oben:
k(t) = 40700,17 = 500 *1,05^t/T
t(2) = T*ln(81,4)/ln(1,05)
Dadurch erhalten wir im 2. Durchlauf:
t(2) = ca. 32461 Tage = ca. 90,2 Jahre
g(t(2)) = ca. 55085€
Und erneut setzen wir wieder an:
k(t) = 55085 = 500 *1,05^t/T
t(3) = T*ln(110,17)/ln(1,05)
Dadurch erhalten wir im 3. Durchlauf:
t(3)= 34694 Tage = 96,4 Jahre
g(t(3))= 58186,2 €
Und erneut;
t(4)= 35098,18 Tage = 97,5 Jahre
g(t(4)) = 58747,5€
Und erneut;
t(5) = 35169 Tage = 97,7 Jahre
g(t(5))= 58845,9€
Also wir sehen nun das die Veränderung sehr stark abnimmt besonders in den letzten Intervallen (von t(4) zu t(5)). Daher können wir davon ausgehen, dass sich beide so zwischen 97,7 und 99 Jahren treffen. Und wie stekum schon in seiner Antwort gezeigt hat, ist die Antwort 98.
Du musst die beiden Formeln gleichsetzen und nach t auflösen.
Kleiner Fehler bei den Formeln...
linear: 10000+500t (t für Jahre)
exponentiell: 500*1,05^t oder 500*105%^t