Ebene in Koordinatenform?
Hallo, bei der folgenden Aufgabe muss man die Koordinatengleichung aufstellen. Ich verstehe allerdings nicht, wie dies bei diesen Aufgaben geht. Kann mir jemand die Koordinatengleichungen sagen und erklären wie man sie herausfindet
Stellen Sie eine Koordinatengleichung der beschriebenen Ebene E auf.
a) E geht durch A(0 |2|0), B(2|1|2), C(1| 0|2).
meine Lösung : 2x-2y-3z=-4
b) E ist die x-y-Ebene.
c) E ist die x-z-Ebene.
d) E enthält die z-Achse, den Punkt P(1|1| 0) und steht senkrecht auf der x-y-Ebene.
1 Antwort
(a) Bei Ebenen, bei denen 3 Punkte vorgegeben sind, kann man zunächst einen Punkt (z.B. A) als Anknüpfpunkt wählen und die Differenz zwischen dem Anknüpfpunkt und den verbleibenden Punkten als die beiden Richtungsvektoren. Damit erhält man die Parameter-Darstellung der Ebene. Dann bildet man das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren und multipliziert damit die komplette Ebenengleichung skalar. Da das Kreuzprodukt senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren steht, verschwinden die Skalarprodukte mit den Richtungsvektoren, und es bleibt nur das Skalarprodukt mit dem Anknüpfpunkt übrig. Zum Schluss kann man die Koordinaten der drei Punkte zur Probe in die Koordinatendarstellung der Ebene einsetzen. Deine Lösung ist korrekt… :-)
(b) Bei der x-y-Ebene sind die Koordinaten x und y eines jeden Punktes frei wählbar, lediglich die z-Koordinate ist stets 0. Daher ist z=0 die Koordinatenform der x-y-Ebene.
(c) y=0 aus denselben Gründen wie unter (b)
(d) Du kannst Dir leicht 3 Punkte der Ebene konstruieren und dann wie unter (a) vorgehen: da die Ebene die z-Achse enthält, ist der Ursprung (0,0,0) sicherlich Punkt der Ebene, sicherlich auch der Punkt (0,0,1). Den dritten Punkt hast Du mit (1,1,0) vorgegeben…