Definition Vektorraum?
Könnte mir jemand helfen die Definition eines Vektorraums zu verstehen? Sind mit Lambda und mü normale Zahle vor dem Richtungsvektor gemeint (mit dem man dieses vervielfachen kann)? Und mit v und w sind dann Vektoren gemeint?
4 Antworten
Richtig, das steht auch im Text oben drüber (letzte Zeile): lambda, mu aus K, dem Körper, und v, w aus V, dem Vektorraum.
Ja, λ und μ sind Skalare, v und w sind Vektoren. Jedoch müssen λ und μ nicht aus immer aus IR sein, sondern können bspw. auch aus IN oder eine Menge, die keine Zahlen beinhaltet (letztere ist mir noch nie bewusst vorgekommen).
auch aus IN
Die Menge der Natürlichen Zahlen ist normalerweise kein Körper.
Da steht doch, was v,w mü und Lambda sind:
für alle v, w in V und für alle lambda, mü in K
Also ja, mü und lambda kommen aus den Körper der über die Skalarmultiplikation auf die Vektoren wirkt. Und v und w sind Vektoren aus dem Vektorraum.
Aber wenn man z.B. sagt, dass A eine Gruppe ist, heißt es doch
A = (G,▪︎)
Also ist G die Menge in der Gruppe A und ▪︎ die Operation in der Gruppe A,
oder nicht?
Formal gesehen meint man mit Körper/Vektorraum jeweils das Tripel mit der Menge und den Operatoren, ja. Trotzdem nennt man auch die Menge zur Einfachheit Körper/Vektorraum, weil dann klar ist, was gemeint ist.
Sehe Wikipedia:
Ist die Verknüpfung aus dem Zusammenhang klar, so schreibt man für eine Gruppe (G,*) häufig nur G.
Achso, das wusste ich nicht.
Also ist in der Frage mit V der Vektorraum V gemeint?
Wenn ja, dann ist mit V in der kommuativen Gruppe (V,+) nicht mehr der Vektorraum, sondern eine Menge gemeint (anders macht es sonst keinen Sinn), korrekt?
Also ist V eigentlich die Menge in dem bennanten Vektorraum und der benannten Gruppe, man schreibt für den Vektorraum mit der Menge V dann aber kurz nur noch V, richtig?
Wenn man nun sagt lambda und mü Element Z, dann kann der Vektorraum doch trotzdem R sein oder, da wenn die Zahlen des Vektors z.B. pi und e sind, diese multipliziert mit ganzzahligen Skalaren trotzdem im Vektorraum R wären? Man würde dann aber trotzdem auch sagen, dass mit der Skalarmultiplikation ein Vektorraum über den Körper R gebildet wird, oder? Da man ja beim der Multiplikation von Vektor mit Skalar aus Z trotzdem in diesem Fall einen Vektor im Raum R bekommen würde?
Wenn man nun sagt lambda und mü Element Z
Z ist kein Körper.
Nimm Lieber Q.
Du kannst R als Q-Vektorraum auffassen, das bedeutet, dass du die Reellen Zahlen als Vektoren Betrachtest und die rationalen Zahlen als skalare nimmst, die du dranmultiplizieren kannst. Die Definition für einen Vektorraum ist dann auch erfüllt, da die Multiplikation einer Reellen Zahl und einer Rationalen Zahl immer eine Reelle Zahl liefert. Es muss ein Element aus dem Vektorraum rauskommen, es ist dabei egal, ob das Ergebnis dann im körper liegt oder nicht, was eh nicht mehr passieren kann, wenn du zum Beispiel R^2 als R-Vektorraum betrachtest, da die Ergebnisse der Multiplikation in R^2 liegen, nicht in R.
Ahh ok, es wird langsam klarer haha. Müssen die Skalare aus einem Körper sein? Also wenn man jetzt als Skalare nur Zahlen aus N nimmt, ist es dann nicht möglich einen Vektorraum mit den Skalaren aus N zu haben? Wenn der Vektorraum R ist, dann ist R doch eine kommutative Gruppe mit + und die Bedingungen für einen Vektorraum würden doch trotzdem alle gelten oder?
Müssen die Skalare aus einem Körper sein?
Per Definition muss es ein Körper sein.
Also wenn man jetzt als Skalare nur Zahlen aus N nimmt, ist es dann nicht möglich einen Vektorraum mit den Skalaren aus N zu haben?
Du musst einen Andere Operatoren auf N finden, sodass N wirklich ein Körper ist.
Lambda und Mu sind Skalare des Grundkörpers K, über dem der K-Vektorraum V definiert ist. Jeder Vektorraum V wird über einem Grundkörper K definiert, das können die reellen Zahlen R sein, jedoch auch „exotischere“ Körper wie C oder auch endliche Körper wie F_(p^n)…
In der Frage steht, dass der Vektorraum V heißt. Wie kann (V,+) dann eine Gruppe sein, wenn V ein Vektorraum und keine Menge ist (wesewegen auch v,w∈V keinen Sinn macht. Da K ein Körper ist, für K das selbe)?