Erklärung zu den Pauli Matrizen?
Hallo liebe Community,
ich beschäftige mich gerade mit den Pauli Matrizen und habe da ein paar Verständnisfragen.
Die Pauli Matrizen sind ja folgende:
und dazu nimmt man ja meistens noch die Matrix
Dabei ist dann ja
und
Es steht auf mehereren Websiten, dass die Paulimatrizen mit der Einheitsmatrix Sigma0 eine "Basis des 4-dimensionalen rellen Vektorraums aller komplexen hermiteschen 2 x 2 Matrizen" bildet und auch eine "Basis des 4-dimensionalen komplexen Vektorraums aller komplexen 2 x 2 Matrizen" bildet.
Was genau ist damit jetzt gemeint?
Also den Fakt, dass die Paulimatrizen eine Basis zu einem reellen Vektorraum und zu einem komplexen Vektorraum bilden, habe ich mir folgendermaßen erklärt: Um zu prüfen, dass etwas eine Basis ist, muss man ja schauen ob die Vektoren in B sozusagen linear unabhängig sind. (Wir gehen mal davon aus, dass die Vektorräume jeweils endlich erzeugte Vektorräume sind).
Da habe ich mir dann gedacht, dass man ja sozusagen einfach alle 4 Matrizen so umformulieren kann, dass es komplexe Zahlen sind, also einfach so:
Und da ja schon gesagt wurde, dass die eine Basis bilden, heißt, dass das die linear unabhängig sind und da jetzt alle Matrizen Element der Komplexen Zahlen 2 x 2 sind bilden sie halt eine Basis für den Vektorraum der komplexen Zahlen.
Dies macht man dann auch noch für die reellen Zahlen. Dort wandelt man die Matrix Sigma2 in eine Relle Matrix um. Man sagt einfach i = 1 und -i = -1. Und da dort dann alle Matrizen Element der Reelen Zahlen 2 x 2 sind bilden sie halt eine Basis für den Vektorraum der reellen Zahlen.
Das war ersteinmal mein Erklärversuch dafür, dass die Paulimatrizen eine Basis für den reelen Vektorraum bilden als auch für den komplexen Vektorraum. Ich würde mich sehr freuen falls mir jemand erklären könnte inwiefern mein Versuch richtig ist.
Die Grundlage meiner Idee war folgendes:
Auf jeden Fall muss es irgendwas damit zu tun haben, dass eine Komplexe Zahl so aufgebaut ist: a+b(i) mit a,b Element der Reelen Zahlen.
Meine konkreten Fragen sind also:
- Wie kann es sein, dass die Paulimatrizen eine Basis für den reellen Vektorraum bilden und eine Basis für den komplexen Vektorraum?
- Was bedeutet Zitat "die Paulimatrizen bilden eine Basis des 4-dimensionalen reellen Vektorraums aller komplexen hermiteschen 2 x 2 Matrizen"?
Ich würde mich sehr über Antworten freuen :)
2 Antworten
Das wichtige hier ist, dass man einmal einen komplexer Vektor-Raum ist, und das andere ein reeller Vektorraum.
Lies hier nochmal, wie K-Vektorräume definiert sind. (Beim ersteren ist K gleich den Komplexen Zahlen, beim Zweiten die Reellen Zahlen)
Dann sollte klar sein, warum beide Vektorräume unterschiedlich sind.
Ein Kleines Beispiel, damit du siehst weswegen es wichtig ist, über welchen Körper der Vektorraum ist:
Der Raum der Komplexen Zahlen ist ein eindimensionaler C-Vektorraum (1 ist ein Basisvektor) und ein zweidimensionaler R-Vektorraum (hier wären z.b 1 und i Basisvektoren)
Falls du nach dem Lesen der Definition auf Wikipedia noch Probleme hast, kannst du gerne einen Kommentar schreiben
Worauf beziehst du dich hier mit "ersteren" und "zweitem"?
Ersteres ist der komplexe C-Vektorraum, zweiteres der Reelle.
Nur im Bezug zu den Paulimatrizen verstehe ich nicht inwiefern die Paulimatrizen und eine 2 x 2 Einheitsmatrix einerseits eine Basis für einen reellen Vektorraum bilden können und andererseits auch eine Basis für einen komplexen Vektorraum bilden können.
Weil beim Reellen Vektorraum nur Reelle Zahlen als Skalare der Linearkombinationen benutzt werden, und beim Komplexen Vektorraum die Komplexen Zahlen die Skalare sind.
Da man bei den Paulimatrizen mit dem C-Vektorraum arbeitet sind ja auch die Sklare aus C.
Nein, einmal kommen die Skalare nur C und beim anderen Fall nur aus R.
Im von der Basis aufgespannten R-Vektorraum ist zum Beispiel die Matrix
(i 0
0 i)
Nicht drin, da du keine Reellen Skalare Finden kannst, sodass die Linearkombination der vier Basismatrizen gleich dieser Matrix ist.
(Was auch gewollt ist, da diese Matrix nicht hermitisch ist)
Im C-Vektorraum ist die Matrix jedoch enthalten, da die Matrix gleich i*sigma_0 ist
Aber warum gibt es denn zwei Fälle? Also dass man einmal die Skalare aus C nimmt und einmal die Skalare aus R nehmen kann?
Weil man einmal einen reellen Vektorraum (R-Vektorraum) und einen komplexen Vektorraum (C-Vektorraum) betrachtet.
Du hast wohl immer noch nicht verstanden, dass das K von K-Vektorraum vorgibt, dass die Skalare NUR aus dem Körper K kommen dürfen.
Genau deswegen habe ich dir gesagt, das sdu es nochmal nachschauen sollst und dir ein Beispiel gegeben wo man sieht dass es wichtig ist, über Welchen Körper man den Vektorraum betrachtet.
Klar habe ich das verstanden. Ich habe doch zuvor in einem Kommentar genau das geschrieben.
Ich weiß auch nicht welchen Link du meinst.
Ich habe verstanden, dass wenn man den R-Vektorraum betrachtet, dass die Skalare aus R kommen und wenn man dann etwas mit diesen Skalaren aus dem R-Vektorraum multipliziert, dass dan auch das Ergebnis aus dem R-Vektorraum ist.
Ich glaube du verstehst mein Problem nicht so ganz.
Mein Problem ist, dass ich nicht verstehe warum man bei den Paulimatrizen einen reellen Vektorraum betrachtet und einen komplexen Vektorraum.
Mein Problem ist, dass die Paulimatrizen doch gar nichts mit dem R-Vektorraum zu tun haben. Das sind ja hermitesche Matrizen und das heißt ja auch, dass die Matrizen dann alle im C-Vektorraum sind. Das heißt für mich, dass wenn ich mit den Paulimatrizen arbeite, dass ich dann auch nur den C-Vektorraum betrachte. Alle Paulimatrizen sind doch im C-Vektorraum, das heißt, dass die Skalare auch aus dem C-Vektorraum kommen. Aber warum bilden dann die Paulimatrizen eine Basis für den reellen Vektorraum als auch für den komplexen Vektorraum?
Alle Paulimatrizen sind doch im C-Vektorraum
Nein.
Nur weil die Matrizen Komplexe Einträge haben, bedeutet es noch lange nicht, dass sie in einem C Vektorraum sind, es kann Trotzdem als R-Vektorraum betrachtet werden. (Genau deswegen hab ich das Beispiel dass die Komplexen Zahlen auch ein R Vektorraum ist).
Der Raum der Hermitischen Matrizen kann nämlich kein C-Vektoraum sein, da wir gesagt, sigma_0 hermitisch ist, i*sigma_0 aber nicht.
Alle Paulimatrizen sind doch im C-Vektorraum, das heißt, dass die Skalare auch aus dem C-Vektorraum kommen. Aber warum bilden dann die Paulimatrizen eine Basis für den reellen Vektorraum als auch für den komplexen Vektorraum?
Und das ist ganau das was ich schon dauernd sage. Wenn du Linearkombinationen mit reellen Skalren betrachtest, erhälst du den reellen Vektorraum der Hermitischen Matrizen, wenn du jedoch Komplexe Skalare benutzt erhälst du den Komplexen Vektorraum aller Komplexen Matrizen. Es hängt also davon ab, welchen Körper du für die Skalare festlegst.
Und je nachdem Welchen Körper du wählst, spannt die Basis einen anderen Raum auf.
Anderes Beispiel:
Betrachte den "Basisvektor" 1
Mit K=R ist das eine Basis für den R-Vektorraum der Reellen Zahlen.
Mit K=C ist das jedoch die Basis für den C-Vektorraum der Komplexen Zahlen.
Und da die 4 Matrizen sowohl unter R als auch unter C linear unabhängig sind, bilden sie Jeweils eine Basis für einen anderen Vektorraum
Was genau ist damit jetzt gemeint?
Dass heißt dass du durch Multiplikation in dieser menge alle hermiteschen Matrizen erhälst
Also ich weiß, dass mein Verständnis über Vektorräume noch nicht sehr gut ist. Aber all das was auf Wikipedia zu Vektorräumen stand (also unter dem Abschnitt Definition) hatte ich auch schon im Skript und habe das eigentlich ganz gut verstanden hatte ich das Gefühl und ich habe bei den Aufgaben zu Vektorräumen auch immer ganz gut abgeschnitten.
Nur im Bezug zu den Paulimatrizen verstehe ich nicht inwiefern die Paulimatrizen und eine 2 x 2 Einheitsmatrix einerseits eine Basis für einen reellen Vektorraum bilden können und andererseits auch eine Basis für einen komplexen Vektorraum bilden können.
Wenn man ja einen Vektor aus einem Vektorraum mit einem Skalar multipliziert, dann kommt ja als Ergebnis wieder ein Vektor desselben Vektorraums raus. Und die Paulimatrizen kann ich ja eigentlich als Vektoren interpretieren, oder? Die Skalare kommen ja immer aus einem Körper. Da man bei den Paulimatrizen mit dem C-Vektorraum arbeitet sind ja auch die Sklare aus C.
Wie ich auch bereits in meiner Frage geschrieben habe, habe ich ja gedacht, dass das irgendwas mit der Art und Weise zutun haben muss mit der die komplexen Zahlen aufgebaut sind.
Bei deiner Antwort verstehe ich eine Sache nicht so ganz:
Worauf beziehst du dich hier mit "ersteren" und "zweitem"?
Ich verstehe schon, dass der C-Vektorraum nicht der gleiche ist wie der R-Vektorraum. Aber ich verstehe nicht wie die Paulimatrizen einmal eine Basis im R-Vektorraum bilden können und einmal eine Basis im C-Vektorraum.