Definition stetige Differenzierbarkeit?
Hallo,
Ich habe ein paar Fragen zur Definition von stetiger Differenzierbarkeit (mehrere Variablen).
Angenommen man hat eine stetig ergänzbare Funktion R2->R (kritische Stelle (0,0)). Sagen wir partielle Ableitungen existieren und nun überprüft man diese auf Stetigkeit. Müssen diese Ableitungen dann zwingend 0 ergeben im Punkt (0,0), dass man von stetiger Differenzierbarkeit sprechen kann?
Und eine komplett andere Frage, im Allgemeinen müssen partielle Ableitungen in einem Punkt (x,y) nicht gleich sein, wenn es sich um eine stetig Differenzierbarkeit Funktion handelt oder?
1 Antwort
Warum sollten die Ableitungen zwingend 0 sein? Wenn eine Funktion wie von dir beschriebene Funktion vorliegt mit partieller Ableitung gleich 0, kannst du einfach x addieren und die neu partielle Ableitung nach x hat dann den Wert 1.
Genau. Der Satz von Schwarz besagt zwar, dass bei k-mal stetig differenzierbaren Funktionen die partiellen Ableitungen bis Grad k kommutieren. Hier setzen wir aber k>1 voraus. Als Beispiel für ungleiche partielle Ableitung betrachten wir einfach f(x,y)=x.
Als erstens einmal, hast du nur geschrieben, dass die Funktion stetig in (0,0) fortgesetzt wird. Das heißt aber nicht, dass sie dort 0 sein muss.
Außerdem kann eine Funktion 0 sein und die Ableitung in dem Punkt ungleich 0, siehe obiges Beispiel von mir.
Zum Schluss hast du aber Recht, nur weil eine Funktion stetig fortgesetzt werden kann, muss sie dort nicht differenzierbar sein.
Ok stimmt da hast du recht. Vielleicht sollte ich meine eigentliche Frage ein wenig umformulieren. Angenommen man will erkennen ob eine Funktion stetig differenzierbar ist und weiß bereits dass alle partiellen Ableitungen existieren. Schaut man sich dann die Ableitungsterme jeweils einzeln auf Stetigkeit an und kann daraus schließen, dass die Funktion stetig differenzierbar ist?
Genau. Das ist ja gerade die Definition von stetig partiell differenzierbar.
Naja mir wurde gesagt stetige Differenzierbarkeit heißt nix anderes, als dass die Ableitungen stetig sind. Wenn ich jetzt stetig ergänze mit (0,0) so wird f und dessen Ableitung (wenn man sich lediglich den ergänzten Teil f(0,0)=0 ansieht) an dieser Stelle doch auch 0 sein (0 abgeleitet ergibt ja erneut 0). Wenn ich jetzt mich an Null annähere mit dem eigentlichen Teil der Funktion und die aber unterschiedliche Werte als 0 aufweisen, dann wäre es ja fast so als hättest du mehrere Ableitungswerte an derselben Stelle (0,0) und da dachte ich, dass dies nicht stetig sein kann. Liege ich hier falsch?