Boolesche Algebra - Term vereinfachen?
Bei einer Schaltungsanalyse komme ich auf den Term a * b * (b + c). Das ist laut Prof auch richtig, jedoch nicht minimal. Es soll laut Prof äquivalent zu a * b sein. Kann das bitte jemand schrittweise darstellen?
Vielen Dank.
2 Antworten
Nun, damit dieser Term wahr wird, muss ja jeder der drei Bestandteile (a, b, (b+c)) 1 sein ...
Lassen wir a mal komplett außen vor und beachten jetzt nur mal b * (b + c). Dies lässt sich auch umschreiben als (b * b) + (b * c)
Wenn b wahr ist, ist diese komplette Gleichung wahr, da b*b = 1. Da es sich um ein oder handelt, muss (b*c) nicht mal beachtet werden.
Sofern b falsch ist, wird die komplette Gleichung falsch, da b*b = 0 und b*c = 0
=> diese Teilgleichung ist rein abhängig von b
Edit:
Du kannst auch so argumentieren:
b * (b + c) = b * b + b * c
da b * b = b, ergibt sich:
b*b + b*c = b + b*c.
Dies ist nur dann wahr, wenn b wahr ist => b+b*c = b
nein, wäre nicht korrekt. denn a*b*c würde voraussetzen, dass c=1 ist.
jedoch kann c bei der gegebenen Algebra (a*b) auch 0 sein
Ok. Dann verstehe ich es jetzt. Es wird ausschlißlich alles gelistet, was wirklich =1 sein MUSS...
Einfach wie mit "normaler" Algebra vereinfachen und die Zusatz-Vereinfachungen der Bool'schen Algebra beachten:
- * ist AND, wird wie "mal" gerechnet, kann auch ohne Punkt geschrieben werden.
Also:
- a * b * (b + c) = [ausmultiplizieren]
- a * (bb + bc) =
- a * (b + bc) = [ausklammern]
- a * b * (1+c) =
- a * b * (1) =
- a * b
- Da c rausfliegt, ist die Funktion unabhängig von c
oder noch einfacher:
- [ausmultiplizieren]
- = abb + abc
- = ab + abc [-> ausklammern]
- = ab (1+c)
- = ab (1)
- = ab
Dankeschön. Die Gleichung ist aber doch auch erfüllt bei b=1 und c=1. Wäre demnach a * b * c auch korrekt, jedoch nicht minimal?