Beweis einer Äquivalenzrelation?
Hey Leute,
ich habe Menge M = R^2{(0,0)} (R sind die reellen Zahlen)
Die Äquivalenzrelation auf MxM ist definiert für (x, y) ~ (x', y'), wenn eine Gerade durch den Nullpunkt existiert, die durch beide Punkte verläuft.
Nun sollen wir zeigen, dass dies auch eine Äquivalenzrelation ist, also, dass diese reflexiv, transitiv und symmetrisch ist.
Intuitiv ist das für mich logisch, dass das eine Äquivalenzrelation ist, jedoch hab ich Probleme, dass mathematisch aufzuschreiben.
Kann mir da jmd helfen?
Danke im voraus
4 Antworten
Ich nehme an, dass M = ℝ² \ { (0, 0) } gemeint ist, weil sonst jeder Punkt äquivalent zu (0,0) und daher wegen der Transitivität alle Punkte zueinander äquivalent wären.
Für die Punkte (x, y) einer Gerade durch den Punkt (0, 0) und den Punkt (x1 , y1) gilt:
Zwei Punkte (x1 , y1) und (x2 , y2) sind daher äquivalent, wenn gilt:
Also
[1] (x, y) ~ (x', y') ⇔ xy' = x'y.
Beweis, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist:
Seien (x, y), (x', y'), (x'', y'') ∈ M × M, also insbesondere
[2] (x, y), (x', y'), (x'', y'') ≠ (0, 0).
Reflexivität von ~:
xy = xy ⇒ (x, y) ~ (x, y).
Symmetrie von ~:
(x, y) ~ (x', y') ⇒ xy' =x'y ⇒ x'y = xy' ⇒ (x', y') ~ (x, y).
Transitivität von ~:
[3] Sei (x, y) ~ (x', y') und (x', y') ~ (x'', y'')
Dann ist
[4] xy' = x'y, wegen [3] und [1], und
[5] x'y'' = x''y', wegen [3] und [1].
Zu zeigen: xy'' = x''y.
Fall 1:
[6] Sei x' = 0.
[7] y' ≠ 0, wegen [6] und [2]
[8] x'y = 0 wg. [6]
[9] xy' = 0 wg. [4] und [6]
[10] x = 0 wg. [9] und [7]
[11] x'y'' = 0 wg. [6]
[12] x''y' = 0 wg. [5] und [11]
[13] x'' = 0 wg. [12] und[7]
[14] xy'' = 0 wg. [10]
[15] x''y = 0 wg. [13]
[16] xy'' = x''y wg. [14] und [15].
Fall 2:
[17] Sei y' = 0.
[18] x' ≠ 0 wg. [17] und [2]
[19] xy' = 0 wg. [17]
[20] x'y = 0 wg. [4] und [19]
[21] y = 0 wg. [20] und [18]
[22] x''y' = 0 wg. [17]
[23] x'y'' = 0 wg. [5] und [22]
[24] y'' = 0 wg. [23] und[18]
[25] xy'' = 0 wg. [24]
[26] x''y = 0 wg.
[27] xy'' = x''y wg. [25] und [26].
Fall 3:
[28] Sei x' ≠ 0 und y' ≠ 0
Die Fälle 1, 2 und 3 sind alle, die möglich sind. Für jeden von ihnen wurde wg. [16], [27] und [31] die Behauptung gezeigt. Damit ist die Behauptung insgesamt bewiesen.
Super erklärt danke :)
Kann man bei der Transitivität nicht nur [4] zu y' = (x'y)/x schreiben, dies in [5] einsetzen und zu xy'' = x''y auflösen?
Also grundsätzlich:
Eine Ursprungsgerade hat die Form:
y=m*x
weißt du was Vektoren sind?
Das würde das Ganze sehr viel einfacher machen.
OIn Anbetracht dass due R^2/{(0,0)} betrachtest, gehe ich davon aus.
Grundsätzlich bezeichne P den Ortsvektor eines Punktes (p1,p2).
Gleichzeitig ist dann P der Richtungsvektor der Gerade, die durch (0,0) und (p1,p2) geht.
Liegt nun ein weiterer Punkt Q=(q1,q2)auf der Gerade, so gilt dass der Ortsvektor Q nur ein Vielfaches des Vektors P ist.
Also ein k aus R existiert mit Q=k*P.
d.h. salopp P und Q haben die gleiche Richtung, nur unterschiedliche Länge bzw. Betrag.
Nun zur Aufgabe:
Seien Punkte P1,P2,P3 gegeben.
P1 ist in Relation zu P1, denn:
Die Gerade die durch den Ortsvektor P1 definiert ist, ist zwangsläufig eine Ursprungsgerade durch den Punkt P1.
Da der Punkt P1 und der Punkt P1 auf dieser Gerade liegen ( da eben identisch) liegen sie zwangsläufig auf der selben Gerade.
Nur mal so ein Anfang. ist auch noch nicht sonderlich gut erklärt :-D
Für Transsitivität kannst du auch einfach hingehen und gucken ob die Vektoren OA,OB,OC,AB,BC,AC alle den selben Winkel haben.
Dann liegen sie letztlich Alle auf der gleichen gerade.
Sind A und B auf einer Urpsurungsgerade, so ist deren Verbindungsvektor AB auch auf der Gerade
Gleiches gilt für BC. Weil es u8m usprungsgeraden geht, ist es die selbe Gerade wie bei AB.
Und Oc findest du dann bekanntlich mit
OA+AB+BC=OC
Da alle 3 auf der selben ursprungsgerade liegen, liegt damit auch C auf der Geraden.
Du kannst die 2 Punkte-Form einer Geraden zum beweisen nehmen.
Naja wenn x ~ y und y ~ z ist dann ist x ~ z die Transitivität und wenn x ~ y ist dann ist y ~ x die Symmetrie und x ~ x die Reflexivität. Ist doch eigentlich ganz einfach!
Das kam mir auch in den Kopf
Aber ich dachte man müsste das iwie beweisen, mit ner Gerade aufstellen, die das erfüllt und so.
Na dann... werd ich das mal so machen
Danke :)
Absolut nicht schlecht erklärt
Vektoren kenne ich
Danke für deine Hilfe